2. Двойственность в линейном программировании. Симметричная пара двойствен­ных задач, правила составления, их экономическое содержание.

Исходные данные:

Формулировка задачи

(См. №1) Предприятие выпускает продукцию, используя те же ресурсы, что и первое предприятие. Первому предлагается предлагается продать все имеющиеся у него ресурсы по следующим ценам: ; и .

Известны объемы ресурсов на первом предприятии (матрица В), нормы расходов ресурсов на производство изделий (матрица А) и прибыль от реализации одного изделия (матрица С).

Необходимо определить цены , при которых первое предприятие примет предложение продажи ресурсов.

Математическая модель задачи

Найти вектор двойственных оценок , минимизирующий целевую функцию общей оценки всех ресурсов:

(2.1.)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации этой продукции:

(2.2.)

При чем оценки ресурсов не могут быть отрицательными:

(2.3.).

Правила составления двойственной задачи:

1. Каждому ограничению-неравенству исходной задачи ставится в соответствие переменная двойственной задачи, принимающая неотрицательные значения

2. Матрица коэффициентов при неизвестных транспонируется

3. Правые части ограничений заменяются коэффициентами целевой функции

4. Меняются направления неравенств, коэффициенты целевой функции заменяются правыми частями ограничений

5. От максимизации (минимизации) функции переходят к минимизации (максимизации).

Решение (на примере)

Величины , , - расчетные (двойственные) оценки ресурсов. Согласно условию первого задания известны технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли:

Для составления двойственной задачи необходимо каждому уравнению системы (1.1.) необходимо противопоставить переменную :

Целевая функция первого предприятия имеет вид: .

Переход к двойственной:

Из матрицы А видно, то для производства первого изделия необходимо затратить 3 единицы первого ресурса и 1 единицу третьего ресурса. В ценах затраты составят , т.е. столько получит первое предприятие за ресурсы, идущие на производство единицы первого изделия. При продаже одной единицы первого изделия (стул) первое предприятие получит 18 д.е. Таким образом, первое предприятие согласится продать свои ресурсы для производства единицы первого изделия только в том случае, если его прибыль не будет меньше, чем от продажи одной единицы готовой продукции:

Аналогично определяются условия продажи ресурсов для остальных видов продукции:

За все имеющиеся у первого предприятия ресурсы необходимо заплатить д.е. Фабрика-покупатель будет искать такие значения , , , при которых эта сумма окажется наименьшей. Целевая функция двойственной задачи примет вид:

Таким образом получена симметричная пара двойственных задач.

Для переменных : если система ограничений исходно задачи содержит как неравенства, так и равенства, то в двойственной задачи переменная, отвечающая ограничению-уравнению может принимать значения любого знака, а ограничению неравенству будет соответствовать неотрицательная переменная.

Решение двойственной задачи соответствует двойственным оценкам дополнительных переменных в последней симплексной таблице исходной задачи.

Экономический смысл оценок: двойственная оценка i-го ресурса показывает, что добавление одной единицы i-го ресурса обеспечит прирост прибыли на соответствующее значение.