13. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменны­ми, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.

Д.У. 1 пор с разделенными переменными. ☼ Д.у.1 п. вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (4) p(x)+Q(y)*dy/dx=0 (5) называются с разделенными переменными, где p(x) непрерывна на (a,b) – F(x) – первообразная, Q(y) непрерывна на (c,d) – Φ(y) – первообр.

(F(x))’=P(x) x (a,b), (Ф(y))’=Q(y) y (c,d). т.к. P(x) непр на (a,b), Q(y) непр на (c,d). , . Поэтому от Ур-я (5) можно перейти к (4). (F(x))’dx+ (Ф(y))’dy=0, dF(x)+dФ(y)=0, dF(x)= -dФ(y) F(x)= -Ф(y)+C. ,

Д.У. 1 пор с разделяющимися переменными ☼ Д.У. 1 порядка вида: P₁(x)Q₂(y)dx+ P₂(x)Q₁(y)dy=0 (*), где P₁(x), P₂(x) непр на (a,b), Q₁(y), Q₂(y) непр на(c,d) - наз-ся Д.У с разделяющимися переменными.

Решаются:

1)Q₂(y)≠0, P₂(x)≠0, тогда (*) домножим на |* 1/[Q₂(y)P₂(x)]. Тогда от Д.У. с разделяющимися переем перешли к Д.У. с разделенными переменными: , .

2)Q₂(y)=0, y=y_K, P₂(x)=0, x=x_N , то -общий интеграл, y=y_K, x=x_N – решение для Q₂(y)P₂(x)=0.

Однородные дифференциальные ур-я 1 порядка. ☼ f(x,y)- наз-ся однородной функцией k-го порядка, если для любого λ отличного от 0 (λ≠0) выполняется f(λx, λy)= λ^Kf(x,y). Н-р, f(x,y)= x²y-xy², f(λx, λy)=( λx)² λy- λx(λy)²= λ³[x²y-xy²] – однородная ф-я 3го порядка.

☼ f(x,y) – однородная ф-я нулевого порядка, если для любого λ≠0 выполняется f(λx,λy)=f(x,y). Н-р, f(x,y)= [x³-xy²]/[x²y-y³], f(λx, λy)= λ³[x³-xy²]/ λ³[x²y-y³]= [x³-xy²]/[x²y-y³] – однор ф-я нулевого порядка (1=λ⁰)

Теорема: f(x,y) – однор ф-я нулевого порядка т и т т, когда эту ф-ю можно представить в виде ф-и зависящей от отношения y/x. Док-во: ( f(x,y) – однор ф-я нулевого порядка ↔f(x,y)=φ(y/x) ). Необходимость: Дано: f(x,y) одн ф-я 0 пор-ка, что можно представить: λ=1/x f(1,y/x)=f(x,y); λ≠0 f(λx, λy)= f(x,y) f(x,y)= φ(x,y) Ч.т.д. Дост-ть: Дано: f(x,y)= φ(y/x) Док-ть: одн ф-я 0 пор-ка. λ≠0 f(λx, λy)= φ(λy/ λx)= φ(y/x)=f(x,y) →f(x,y) – однор ф-я 0 пор-ка Ч.т.д.

y’=f(x,y) (2)- Д.У. 1порядка,разрешенное относительно производной.

☼ Д.у. (2) y’=f(x,y) – наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) является однородной ф-ей нулевого порядка. y’= φ(y/x), ( z(x)= y(x)/x - замена) y=xz y’=z+xz’ z+xz’=φ(z) x*(dz/dx)=φ(z)-z - Д.У. 1 пор с раздел-ся переменными. dz/[φ(x)-z]=dx/x - Д.У. 1 пор-ка с раздел-ми переменными. Ф(z)=ln|x|+ln|C| Ф(z)= ln|Cx| Ф(y/x)= lnC|x| - если φ(z)-z ≠0. если (φ(z)-z)=0, z=z_J, j=1n. Тогда к общему интегралу добавить потерянные решения {Ф(y/x)=lnC|x|, {y=xz_J, j=1n.

Зам-е: Д.У. вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где P(x,y), Q(x,y) - однор диф ф-и одного и того же порядка. – также является одн Д.У. 1порядка dy/dx= - [P(x,y)/Q(x,y)]. Т.к. P(x,y)/Q(x,y) – однор ф-я нулевого порядка.

Линейные диф ур-я 1го порядка ☼ Д.У. 1 пор вида: y’+P(x)y=Q(x) (6), где P(x), Q(x)-непр ф-и на нек промежутке (a,b) – наз-ся линейное Д.У. 1 порядка. Зам-е: если правая часть Q(x)=0, причем=0 в любой точке (a,b) (Q(x)≡0, x (a,b)), то ЛДУ 1 порядка – однородное, в противном случае – неоднородное. y’+P(x)y=0 (7) – ОЛДУ 1 порядка, y’+P(x)y=Q(x) – НЛДУ 1 порядка. Покажем, что для ур-я (6) разрешима любая задача Коши, если x₀ (a,b), y₀ R. Разрешаем ур-е относительно производной: y’=Q(x)-P(x)y, (Q(x)-P(x)y=f(x,y)). 1) ф-я определена и непр на δ(x_0,y₀); 2) частная произв по у - ∂f/∂y= -P(x) – непр на δ(x_0,y₀). На интервале (x₀-δ,x₀+δ) существ единств !y=φ(x), такое что φ(x₀)=y₀. Решаем методом вариации произвольной постоянной(метод Лагранжа). Сначала рассмотрим соотв ОЛДУ (7) – ур-е с разд переменными: y'=p(x)y. Получаем: dy/y= -p(x)dx, ln|y|= - , C>0. ln|y/c|= - , |y|= Ce^(- ). {y=±Ce^(- ), C≠0 {y=0.

y_OO=Ce^(- ), C R – общее решение ОЛДУ (7).

Для решения ур-я (6) y_OH=С(x)e^(- ), C R . Найти производные, подставить в ур-е y’=C’e^(- )+ Ce^(- )(-P(x)); (-P(x)) – производная показателя ф-и. C’e^(- ) – P(x)Ce^(- ) +P(x)CE^(- )=C’e^(- )=Q(x) → C’= Q(x)e^( ) → C(x)= . Подставим значение С(х) в y_OH=[ ]*e^(- ).

y_OH=e^(- )* + Ce(- ). 1е слагаемое – у частное неоднородное, 2 слагаемое – у общ однор.

Общее решение у_ОН НДЛУ 1 порядка= сумме общих решений соответствующего однородного и какого-либо частного решения неоднородного. Зам-е: НЛДУ (6) на практике решают заменой. y’+p(x)y=Q(x) – y(x)=u(x)*v(x)

Ур-е Бернулли Д.У.1 пор вида: y’+P(x)y=Q(x)y^α (#), α R, α≠0,α≠1. Если α=0 – НЛДУ, α=1 ДУ с разделяющимися переменными. Ур-е Бернулли разделим на y^α. Получим: 1/y²*y’+P(x)y^1-α=Q(x), z=y^1-α, z’=(1-α)y ^–α*y’, 1/(1-α)*z’+P(x)z=Q(x) – ОЛДУ 1 пор-ка относительно ф-и z. Z=Ф(x,C). y^1-α=Ф(x,C). Зам-е: 1) На практике ур-е Бернулли можно не сводить к линейному,а сразу решать заменой y=uv. 2) Наряду с лин ур-ми и ур-ми Бернулли y(x) можно рассматривать относительно х=х(у). x’+P(y)x=Q(y) – ЛДУ 1 порядка, относительно х=х(у), где P(y),Q(y) – непр на (c,d); x’+P(y)x=Q(y)*x^α, α R, α≠0, α≠1.