Чистый сдвиг

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения σ1= σ, σ2=- σ (рис. 2.3.9).

Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках, повернутых под углом 45° к главным. Ис­пользуя формулы (2.3.9), находим

Получилось, что в этом случае на гранях параллелепипеда, повер­нутого на угол 45° относительно главных площадок, действуют только касательные напряжения, а нормальные - равны нулю (рис.).

Напряженное состояние, при котором по граням параллелепипеда действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Площадки, на которых действуют только касательные на­пряжения, называются площадками чистого сдвига.

Деформированный параллелепипед при чистом сдвиге показан на рис. штриховой линией. Величина γ называется относитель­ным сдвигом или углом сдвига.

Экспериментально полученный график зависимости между касатель­ным напряжением τ и углом сдвига γ для пластичного материала показан на рис. 2.3.11. Очевидно, что этот график аналогичен диаграмме растяжения ма­териала. Начальный участок диаграммы OA - прямая линия. На этом участ­ке зависимость между τ и γ описыва­ется законом Гука: τ =Gγ,

где G - модуль сдвига, который характеризует жесткость мате­риала при сдвиге.

Величина G связана с модулем упругости при растяжении Е и ко­эффициентом Пуассона v соотношением

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напря­жениями и деформациями в случае объемного напряженного состоя­ния.

Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.

Рассмотрим объемное напряженное состояние с главными напря­жениями σ1, σ2 и σ3 (рис.).

При линейном напряженном состоянии продольная ε и попереч­ная ε' деформации вычисляются по формулам:

(2.3.11)

В случае объемного напряженного состояния, используя принцип независимости действия сил, можно записать, что деформация в на­правлении действия напряжения σ1

ε1= ε11+ ε'₁₂+ ε'₁₃ (2.3.12)

Здесь ε11 - деформация от действия напряжения σ1, ε'₁₂ - попе­речная деформация в направлении σ1, вызванная действием напряже­ния σ2, ε'₁₃ - поперечная деформация от действия σ1. С учетом (2.3.11) можно записать

Подставляя эти выражения в (2.3.12), получим

Аналогично получаются формулы для вычисления ε2, ε3 - де­формаций в направлении действия σ2, σ3. В результате можно записать, что

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записан­ного для главных напряжений. Деформации ε1, ε2, ε3,в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны и для произвольно ориентированных площадок. В этом случае кроме ли­нейных деформаций εx, εy, εzследует учитывать также и угловые

Деформации γxy, γyz, γxz, которые связаны с касательными напряже­ниями формулой вида (2.3.10). При этом получается, что обобщенный закон Гука содержит шесть уравнений, связывающих деформации и напряжения: