19. Частные производные фнп

Рассмотрим линию пересечения поверхности с плоскостью , параллельной плоскости . Так как в этой плоскости сохраняет постоянное значение, то вдоль кривой будет меняться только в зависимости от изменения . Дадим независимой переменной приращение , тогда получит приращение, которое называется частным приращением по и обозначают через , так что

.

Наконец, придав аргументу приращение , а аргументу приращение , получим для новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой

.

На рисунке изображено отрезком .

Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Определение1 Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (1)

Определение 2 Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (2)

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считаются постоянной величиной).

Пример 2.1. Для данной функции требуется найти частные производные и . Найти значения частных производных в точке :

.

Решение. Находим частные производные в общем виде:

, .

Находим значения частных производных в точке :

, .



24. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть функция z = f(x, y) диф-ма в т. P₀(x₀, y₀)

Опр. 1 Полным дифференциалом ф-и z = f(x, y) в т. Р₀, соответствующ. приращениям независимых переменных, называется главная часть приращения этой функции, линейная относительно .

₀, ₀

, то P₀∙ P₀∙

∙ ∙ (1)

U=f(x,y,z)

dU= ;

Z=f(x₁...x_n)

dz= ∙d

В силу равенства

(2)

Пр. 1 Найти дифференциал z=

Пр. 2 Вычислить (1,02)^2,99

f(x,y) =

x₀=1, y₀=3

f `_x(x,y)=y∙

(1,02)^2,99 1³+3∙1²∙0,02+1³∙ ∙(-0,01)=1+0,06=1,06

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть

: = +

Свойства инвариантности

1.

2.

3.

25. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим вопрос об использовании дифференциала в приближенных вычислениях.

Известно, что∆y=y’∆x+α∆x и dy=y’∆x

поэтому можно записать∆y=dy+ α∆x

Это позволяет сделать вывод о том, что ∆y≈dy

т.е. приближенное значение приращения функции совпадает с ее дифференциалом.

Функция может быть довольно сложное выражение и ее приращение не всегда просто

найти, но при достаточно малых значениях |Δx|приращение функции можно заменить ее

дифференциалом, исключая точки, где у' = 0.

Отсюда находим Это одна из основных формул для приближенных вычислений

Пример 1.

Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение

функции y = x3 – 7x2 + 80 при изменении аргумента х от 5 до 5,01

Решение.

Находим Δу≈ dy = y' Δx = (3x2 – 14x) Δx.

При х = 5, Δx = 5,01 – 5 = 0,01 получим

Δу|x=5, Δx = 0,01 = (3. 52 – 14. 5) . 0,01 = (3. 25 - 14 . 5) . 0.01 = 0,05

Вычисление погрешности приближенного приращения функции.

Абсолютная и относительная погрешности.

Рассмотрим функцию y = f(x). Предположим, что величина х получена непосредственным

измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении

величины х допускается некоторая погрешность Δх.

Пусть х – приближенное значение аргумента (измеряемой величины),

Δх – абсолютная погрешность величины х,

(х + Δх) – истинное значение измеряемой величины (Δх может быть как положительным, так и отрицательным числом).

Тогда х определяет приближенное значение функции f(х), а (х +Δх) – ее истинное значение f(х + Δх), из чего следует, что точное приращение функции Δy = f( х + Δх) - f(х).

При близких к нулю значениях Δх величину Δy можно приближенно заменить дифференциалом dy:

Тогда абсолютная погрешность вычисляется по формуле

Δ = |Δy - dy|,

а относительная по формуле:

Пример 2.

Найти приближенно приращение функции у = 3х2 + 2 при х =2 и Δx = 0,001. Определить абсолютную и относительную погрешности вычисления.

Решение.

Так как приращение аргумента - величина малая, то приращение функции можно

заменить ее дифференциалом:

Δу ≈dу|x=2, Δx = 0,001 = 6xdx|x=2, Δx = 0,001 = 6. 2. 0,001 = 0,012

Найдем ошибку, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом. Для

этого вычислим точное значение приращения функции:

Δу = f(x + Δx) – f(x) = 3(x + Δx)2 + 2 – (3x2 + 2) = 3x2 + 6xΔx+ +3(Δx)2 + 2 – 3x2 – 2 = 6xΔx +3(Δx)2;

Δу|x=2, Δx = 0,001 = 6. 2. 0,001 + 3. 0,000001 = 0,012003.

Сравнивая точное значение Δу с приближенным, видим, что абсолютная погрешность есть Δ = |Δy – dy| = 0,000003.

Относительная погрешность составляет