1. Неопределённый интеграл и его свойства.
Определение 1.2.
Совокупность всех первообразных функций
,
где
для функции
называется неопределенным
интегралом от
функции
и обозначается
,
т.е.
.
(1.1)
Здесь
называется подынтегральной
функцией,
подынтегральным
выражением,
переменной
интегрирования,
символ
знак
неопределенного интеграла.
Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.
График первообразной
от функции
называется интегральной
кривой
функции
.
Очевидно, мы получим любую другую
интегральную кривую, если пере-
параллельном движении одной из них по вертикали.
Свойства неопределенного интеграла
Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
,
Доказательство. Действительно,
,
и
.
Благодаря свойству 1 правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
Доказательство. Действительно,
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
.
Свойство 5
(инвариантность формулы интегрирования).
Если
,
то и
,
где
произвольная функция, имеющая непрерывную
производную.
2. Таблица основных неопределённых интегралов
Определение 1. Совокупность всех первообразных функций , где для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , т.е.
. (1)
Здесь называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, символ знак неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5
;
11.
;
6.
;
12.
;
7.
;
13.
;
8.
;
14.
.
9.
;
10.
;
3. Замена переменной в интеграле. Примеры.
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену
переменной в подынтегральном выражении,
положив
,
где
непрерывная функция с непрерывной
производной, имеющая обратную функцию.
Тогда
и на основании свойства инвариантности
формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой
.
Иногда целесообразно
подбирать подстановку в виде
,
тогда
,
где
.
Другими словами, формулу (2.1) можно применять справа налево.
Пример 2.2. Найти следующие интегралы:
1)
;
3)
;