8. Вычисление площадей плоских фигур
1)
f(x)
>=0., S
= 
,
f(x)<=0
-f(x)>=0,
S
= 
=
2)
S
= 
3)
S=
Предположим, что линия, ограничивающая криволинейную трапецию, является графиком функции, заданной параметрически:
,
X€[a,b]
соотв. t€[α,β]
S=
=
= 
S(эллипса) = πab
Пусть дана функция
r=f(
,
где r
и 
- полярные координаты. r=f(
- криволинейный сектор.
,
S(кр.сект.)=
f(
)
= 
S
S=
S(сект) =
9. Вычисление длины дуги
Длина гладкой кривой между двумя точками с абсциссами и находится по формуле (в декартовой системе координат:
.
(1.1)
Когда кривая
задана параметрическими уравнениями
и
,
где
,
непрерывно дифференцируемые функции,
длина дуги вычисляется по формуле:
.
(1.2)
Здесь
и
значения параметра
,
соответствующие концам дуги
и
.
Если гладкая кривая
задана в полярных координатах уравнением
,
то длина дуги
вычисляется по формуле
,
(1.3)
где
и
соответствуют концам
и
.
10. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
Определение 5.1.
Пусть функция
непрерывна на промежутке
.
Если существует конечный предел
,
то его называют сходящимся
несобственным интегралом первого рода
и обозначают
,
т.е.
.
(1)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично
определяется несобственный интеграл
на промежутке
:
.
Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами определяются формулой
,
где произвольное число.
Пример 1.
Дан интеграл
.
Установить, при каких значениях
этот интеграл сходится, а при каких –
расходится.
Решение.
Предположим, что
.
Тогда
.
Следовательно,
если
,
то
,
т.е. данный интеграл сходится.
Если
,
то
,
т.е. интеграл расходится.
При
имеем
,
т.е. данный интеграл расходится.
11. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
признак сходимости Абеля:
1. пусть функции
f(x) и g(x) определены в промежутке
,
причём f(x) интегрируема в этом промежутке,
т.е. интеграл
сходится (условно или абсолютно);
2. g(x) монотонна и
ограничена:
.
Тогда интеграл
сходится.
признак сходимости Дирихле:
пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):
;
2. g(x) монотонно
стремится к нулю при
:
.
Тогда интеграл сходится.
Применим, например,
признак Дирихле к
.
Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака
выполнены, поэтому интеграл сходится
условно.
Теорема (признак
сравнения).
Если на промежутке
непрерывные функции
и
удовлетворяют условию
,
то
1) если сходится
интеграл
,
то сходится и интеграл
;
2) если расходится интеграл , то расходится и интеграл .
Пример.
Доказать, что интеграл
сходится.
Доказательство.
Так как
при
и интеграл
сходится, то исходный интеграл также сходится.