Задача 3.7

Имеется выборка, отвечающая нормально распределенной случайной величине _.

42,22	42,05	41,96	41,86	41,92	41,86	41,91	41,86
41,94	42,08	41,95	41,96	41,92	41,92	41,74	41,93
42,02	42,01	42,28	41,86	42,12	41,98	42,11	42,04

Требуется построить:

1) доверительный интервал для математического ожидания, соответствующего доверительной вероятности , считая, что среднее квадратическое отклонение случайной величины известно и равно ;

2) доверительный интервал математического ожидания , соответствующий доверительной вероятности считая, что среднее квадратическое отклонение неизвестно;

3) доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения , соответствующие доверительной вероятности , считая, что математическое ожидание случайной величины известно и равно ;

4) доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения , соответствующие доверительной вероятности , если математическое ожидание неизвестно.

Решение:

Сначала найдем , и по формулам:

Где множитель вводится для того, чтобы соответствующие числа стали целыми. . Вычисления будем выполнять с помощью таблицы.

По указанным выше формулам получаем:

;

;

1	42,22	22	484		14	41,92	-8	64
2	42,05	5	25		15	41,74	-26	676
3	41,96	-4	16		16	41,93	-7	49
4	41,86	-14	196		17	42,02	2	4
5	41,92	-8	64		18	42,01	1	1
6	41,86	-14	196		19	42,28	28	784
7	41,91	-9	81		20	41,86	-14	196
8	41,86	-14	196		21	42,12	12	144
9	41,94	-6	36		22	41,98	-2	4
10	42,08	8	64		23	42,11	11	121
11	41,95	-5	25		24	42,04	4	16
12	41,96	-4	16
13	41,92	-8	64			-	-50	3522

По таблице II приложения находим для квантиль нормального распределения уровня . Теперь можно построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности , для математического ожидания при известном

Для построения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном найдем по таблице V приложения квантиль уровня распределения Стьюдента с степенями свободы: . Соответствующий доверительный интервал будет иметь вид:

Чтобы построить доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения при известном математическом ожидании, найдем по таблицам III и IV приложения квантили распределения с степенями свободы уровней и ; имеем ,

Доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения имеют соответственно вид:

Для доверительной вероятности найдем квантили распределения с степенями свободы уровней и ; имеем , . Отсюда получаем доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения при неизвестном математическом ожидании: