- •1. Комплексное число, действительная и мнимая части, равенство комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел, формула обращения ненулевого комп. Числа.
- •4. Пополнение поля компл. Чисел бесконечно удалённой точкой.
- •5. Функции компл. Переменного. Предел и непрерывность. Области на компл. Плоскости (ограниченные, открытые, замкнутые, связные, односвязные, многосвязные). Граница области.
- •6. Степенные ряды (по степеням (z – a)). Теорема Абеля. Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитичность суммы степенного ряда.
- •7. Производная функции комплексного переменного, аналитичность в точке и области. Геометрический смысл производной, сохранение углов. Свойства производных.
- •12. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши, его свойства. Существование производных любого порядка у аналитической функции.
- •1. Изображение Лапласа, оригинал, ограничения на оригинал, показатель роста. Аналитичность изображения. Теорема единственности.
- •2. Функция Хевисайда, её изображение. Теорема подобия. Свойство линейности оператора Лапласа. Смещение изображения. Теорема запаздывания.
- •7. Биноминальное распределение.
- •8. Распределение Пуассона.
- •9. Геометрическое распределение (вероятность первого успеха)
- •10. Математическое ожидание. Определение мат. Ожидания. Свойства мат. Ожидания. Вычисление мат. Ожидания биноминального распределения , распределения Пуассона и геометрического распределения.
- •Основные свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •13.Определение и свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения непрерывной случайной величины.
12. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши, его свойства. Существование производных любого порядка у аналитической функции.
Теорема 15.1 (Коши для многосвязной области). Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции в многосвязной области равен 0.
Пусть функция аналитична в замкнутой односвязной области и – граница области D. Тогда имеет место формула
Где точка – любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L производится в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки). Интеграл в правой части называется интегралом Коши
Формула для интегрального представления производных высших порядков функции получается дифференцированием (32) под знаком интеграла:
13. Разложение функции, аналитической в круге в степенной ряд. Оценка коэффициентов степенного ряда. Формула Коши для n-ой производной аналитической функции. Теорема Лиувилля.
имеет место равенство
Преобразуем:
Почленное интегрирование дает ряд Тейлора функции :
где
Из приведенных выше преобразований следует, что радиус сходимости
ряда Тейлора равен расстоянию от до ближайшей особой точки, т. е. точки в которой нарушается аналитичность функции .
Предложение 17.1. Пусть на окружности радиуса р. Тогда .
Теорема 17.2 (Лиувилля). Аналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости функция может быть только константной.
14. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
Всякая аналитическая функция в кольце функция может быть разложена в этом кольце в ряд
Коэффициенты которого определяются формулой
Где L- произвольная окружность с центром в точке лежащая внутри данного кольца.
Где первое слагаемое называется правильной частью ряда Лорана(этот ряд сходится внутри круга ), а второе главной частью(этот ряд сходится вне круга ).
15. Изолированные особые точки. Их исследование с помощью ряда Лорана. Особенности на бесконечности.
Особая точка функции комплексного переменного это точка в которой отсутствует аналитичность. Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки функция не имеет других особых точек. Пусть - особая точка, и R - расстояние от a до ближайшей особой точки. Разложим в ряд Лорана в кольце . Рассмотрим три случая.
Случай 1. В ряде Лорана главная часть отсутствует.
Тогда, доопределяя функцию f (z) в точке a посредством равенства , получаем аналитическую в точке a функцию, которую также будем обозначать через . Точка a в этом случае называется устранимой особой точкой.
Случай 2. Главная часть ряда Лорана ненулевая и содержит конечное число слагаемых.
Имеем:
где В этом случае a называется полюсом порядка m. Если m = 1, то a называется простым полюсом
Случай 3. Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых. В этом случае a называется существенной особой точкой.
Теорема 19.6 (Ю.В. Сохоцкого). Если a - существенная особая точка функции , то для любого или найдется последовательность такая, что .
16. Вычет. Вычисление вычета в полюсе.
Определение 20.1. Пусть в проколотой окрестности точки a функция f (z) аналитична. Тогда величину
где р - достаточно малое положительное число, будем называть вычетом
функции в точке .
Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки считаем
величину
где C - окружность с центром в начале координат такая, что вне круга, определяемого этой окружностью, функция особенностей не имеет.
Первичные следствия этого определения следующие:
1) вычет не зависит от величины р;
2) вычет совпадает с коэффициентом ряда Лорана функции в кольце
3) если аналитична в точке или - устранимая особенность, то вычет в ней равен 0.
Предложение 20.2. Пусть a - полюс порядка m функции . Тогда
Отметим частный случай простого полюса
Предложение 20.3. Пусть a - простой полюс функции f (z). Тогда
В частности, если , где аналитичны в окрестности точки , то a - простой полюс и
17. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.
Теорема 20.4 (основная о вычетах). Пусть f (z) аналитична в замкнутой области D, кроме точек a1,a2,.., am, лежащих внутри области D. Тогда
Предложение 21.1. Предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем второго или более высокого порядка функции , т.е. разложение в ряд Лорана в окрестности ж имеет вид
Допустим также, что является аналитической функцией на действительной оси, а в верхней полуплоскости имеет лишь конечное число особых точек . Тогда