![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Комплексное число, действительная и мнимая части, равенство комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел, формула обращения ненулевого комп. Числа.
- •4. Пополнение поля компл. Чисел бесконечно удалённой точкой.
- •5. Функции компл. Переменного. Предел и непрерывность. Области на компл. Плоскости (ограниченные, открытые, замкнутые, связные, односвязные, многосвязные). Граница области.
- •6. Степенные ряды (по степеням (z – a)). Теорема Абеля. Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитичность суммы степенного ряда.
- •7. Производная функции комплексного переменного, аналитичность в точке и области. Геометрический смысл производной, сохранение углов. Свойства производных.
- •12. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши, его свойства. Существование производных любого порядка у аналитической функции.
- •1. Изображение Лапласа, оригинал, ограничения на оригинал, показатель роста. Аналитичность изображения. Теорема единственности.
- •2. Функция Хевисайда, её изображение. Теорема подобия. Свойство линейности оператора Лапласа. Смещение изображения. Теорема запаздывания.
- •7. Биноминальное распределение.
- •8. Распределение Пуассона.
- •9. Геометрическое распределение (вероятность первого успеха)
- •10. Математическое ожидание. Определение мат. Ожидания. Свойства мат. Ожидания. Вычисление мат. Ожидания биноминального распределения , распределения Пуассона и геометрического распределения.
- •Основные свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •13.Определение и свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения непрерывной случайной величины.
6. Степенные ряды (по степеням (z – a)). Теорема Абеля. Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитичность суммы степенного ряда.
Естественным обобщением многочленов являются функции, заданные в виде суммы ряда по степеням z — zo:
(8)
Теорема
8.1 (Абеля).
Если
ряд (8)
сходится при некотором значении z*,
то он абсолютно сходится при любом
таком, что
.
Если же ряд (8)
расходится при при некотором z**,
то он расходится и при любом комплексном
z
таком, что
.
Существует
неотрицательное действительное число
R,
называемое радиусом сходимости, такое,
что ряд сходится абсолютно при
и расходится при
.
Круг
называется
кругом сходимости.
Обозначим через S(z)
сумму ряда (8)
в круге сходимости.
Теорема 8.2. Функция S(z) аналитична в круге сходимости и
(9)
При этом ряд в правой части (9) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (8).
7. Производная функции комплексного переменного, аналитичность в точке и области. Геометрический смысл производной, сохранение углов. Свойства производных.
Определение
6.1.
Пусть функция
f
(z) определена в окрестности
точки
.
Производная функции комплексного
переменного
в точке
определяется в точности также как и для
функции действительного переменного:
Функция комплексного переменного называется аналитической на открытой области G, если она имеет производную в каждой точке этой области и производная непрерывна. Аналитичность в точке означает существование и непрерывность производной в некоторой окрестности этой точки. Аналитичность на замкнутой области D означает существование и непрерывность производной на некоторой открытой области G, содержащей D.
8. Производная функции zn . Определение ez , sin(z) , cos(z) , tg (z), их разложение в степенные ряды и производные. Гиперболические функции sh(z) , ch(z) , th(z) , основное гиперболическое тождество, формулы сложения, производные, разложения в степенные ряды, связь с тригонометрическими функциями. .
Производные для функций комплексного переменного не отличаются от производных функций действительного переменного
9. Условия Коши-Римана, критерий аналитичности.
Теорема
6.3 (условия Коши-Римана).
Функция
аналитична
в точке
тогда
и только тогда, когда в некоторой
окрестности этой точки существуют и
непрерывны частные производные
и
выполнены условия Коши-Римана
10. Обратные функции. Понятие многозначной функции. Многозначные функции Ln(z) и корень n-ой степени.
Многозначная функция (многолистная) комплексного переменного это правило, в силу которого каждому z из области определения D ставится в соответствие несколько (возможно бесконечное число) значений w.
11. Кривые на комплексной плоскости, непрерывные, замкнутые, гладкие, кусочно-гладкие. Интеграл от функции компл. переменного, его свойства и сведение к криволинейному интегралу. Свойства интеграла (линейность, аддитивность, оценка).
Определение
14.1.
Путем
или
кривой L
на комплексной плоскости называется
отображение
отрезка действительной прямой
в комплексную плоскость C.
Точка
называется
началом пути L,
а точка
-
его конец.
Путь
L
называется
замкнутым, если
начало совпадает с концом. Образ
отображения
,
т. е. множество
называется
носителем кривой L.
Кривая
L
называется
непрерывной,
если функции
и
,
а тем самым и функция
непрерывны. Путь
L
называется
гладким,
если существует, непрерывна и отлична
от нуля производная
в
любой точке
;
для замкнутого пути дополнительно
требуется, что бы односторонние
производные
совпадали. Путь
L
называется
кусочно гладким,
если существует разбиение
отрезка
такое, что на каждом отрезке
путь
L
гладок.
Определение 14.5. Интегралом функции по кривой L называется
предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремится к 0:
Сформулируем без доказательства стандартные свойства интеграла
Свойство
14.6 (линейность).
Для
любых
и любых функций
интегрируемых по кривой L
имеет место равенство:
Свойство
14.7 (аддитивность).
Если
функция
интегрируема по сумме кривых
,
то она интегрируема по каждой кривой и
Свойство 14.8 (изменение знака). Если функция интегрируема по кривой L, то
Свойство
14.10 (оценка интеграла).
Пусть
для любого
спрямляемой кривой L.
Тогда
Если
учесть, что
и
,
то формула сведения интеграла функции к криволинейным интегралам получается такой:
В
частности, из этой формулы вытекает,
что если кривая
L
кусочно-гладкая, а
кусочно-непрерывна, то интеграл
существует.