4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКИ, ВЕРОЯТНОСТЬ И АНАЛИЗ

ДАННЫХ В ПРАВОПРИМЕНИТЕЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

4.1. Основы математической логики. Множества и подмножества

Математическая логика — современный вид формальной логики, изучающей правила

выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Мате-

матическая логика возникла в середине XIX в. для потребностей математики и стала

применяться в самых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной

деятельности.

Основным понятием математической логики является понятие высказывания

(высказывания будем обозначать латинскими буквами: а,Ъ,с,...). Любое высказывание

быть одновременно и истинным и ложным не может. Какой из этих случаев имеет место?

При ответе на этот вопрос надо учитывать тот факт, что одно и тоже высказывание может

быть истинным в одних условиях и ложным — в других. Например, значение истинности

(т.е. истинность или ложность) высказывания «норма жилой площади устанавливается в

размере 18 кв. м на одного человека» определяется принятым ЖК.

4.1.1. Связки и таблицы истинности

Различают простые и составные высказывания. Высказывание «наследники умершей — ее

муж и сын» — составное, в то время как высказывания «наследник умершей — ее муж» и

«наследник умершей — ее сын» — простые. Связывание простых высказываний в

составные осуществляется логическими операциями, называемыми связками.

Рассмотрим следующие связки: конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и двойную импликацию. Обозначим символами а и b два какие-либо высказывания.

> Конъюнкцией высказываний а и b называется высказывание алЬ («а и Ь») истинное, если истинно каждое из высказываний а и Ь, в противном случае алЬ ложно.

Высказывание «юрист должен знать информатику и математику» является конъюнкцией

высказываний: а — «юрист должен знать информатику» и b — «юрист должен знать

математику».

Зависимость значения истинности составного высказывания от значений истинности его

компонент представляется таблицей истинности.

Таблица истинности высказывания алЬ изображена на рис. 4.1.

Рис. 4.1

> Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание амЬ («я или Ь», иначе «а

либо Ь») истинное, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, и ложное, когда

оба высказывания ложны (рис. 4.2,а). Неоднозначность первой строки рис. 4.2,а

объясняется тем, что обиходное употребление связки «или» двусмысленно: если «или» понимать в смысле «одно или другое, или оба», то при истинности обоих высказываний а и b будет истинно высказывание avb; если же «или» понимать в смысле «одно или другое, но не оба», то одновременная истинность а и b не возможна, т.е. при истинности а и b высказывание avb будет ложно. Например, в высказывании «договор может быть заключен в устной или письменной форме» допускается возможность заключения договора не только в какой-то одной форме, но и в обоих. А в высказывании «5 марта я поеду на шахматный турнир в Москву или во Владивосток» исключено посещение обоих турниров одновременно. В математической логике для устранения двусмысленности связки «или» введены термины:

• дизъюнкция в неисключающем смысле — это дизъюнкция avb, истинная при

истинности не только одного из высказываний а или Ь, но и обоих (иначе, при истинности

не менее одного из двух высказываний; иначе, при истинности по крайней мере одного из

двух высказываний; иначе, при истинности хотя бы одного из двух высказываний); ее таблица истинности приведена на рис. 4.2,6;

• дизъюнкция в исключающем смысле (обозначим ее а у Ь) — это дизъюнкция

истинная при истинности только одного из высказываний а или Ь, но не обоих; ее таблица

истинности изображена на рис. 4.2,в.

> Отрицанием высказывания а называют высказывание ~а («не а» или «неверно, что о»),

отрицающее а.

Таблица истинности высказывания ~й изображена на рис. 4.3.

Рис. 4.3

> Импликацией высказываний а и b называется высказывание а-*Ь («если а, то 6»)

ложное, когда а истинно, но b ложно, а в остальных случаях - истинное.

Таблица истинности высказывания а-*Ъ изображена на рис. 4.4. Ее первые две строки:

«если как а так и Ъ истинны, то а-*Ъ истинно», «если а истинно, а Ъ ложно, то а-*Ъ ложно» очевидны. При а ложном значение истинности высказывания а-^Ь, вообще говоря, неопределенно, но поскольку каждое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным, считается, что при а ложном высказывание а->Ь истинно (см. рис. 4.4, 3-я и 4-я

строки); основанием для принятия такого решения может служить как бы оправдание при

а ложном импликации а-^Ъ «за недостаточностью улик» [30].

В юридических текстах в форме импликаций формулируют правовые предписания,

разрешения и т.д.; например: «Если договор поднайма заключен без указания срока, нани-

матель обязан предупредить поднанимателя о прекращении договора поднайма за три месяца» (ч. 2 ст. 80 ЖК РСФСР). Отметим, что импликация а -> Ъ при отсутствии

смысловой связки между а и Ь звучит странно. Так, странно звучат импликации: «если 2 •

2 = 4, то 3 + 2 = 6» и «если 3 + 2 = 6, то 2 • 2 = 4», первая из которых ложна (см. рис 4.4, 2-

я строка), а вторая - истинна (см. рис. 4.4, 3-я строка). Но связка «если а, то Ъ», не

означает никакой причинно-следственной связи, не означает, что из а следует Ъ

(отношение следования рассматривается ниже): просто а-+Ъ — это новое высказывание,

образованное из а и Ъ. Поэтому рассмотренные парадоксальные импликации имеют право

на существование.

> Двойной импликацией высказываний а и Ь называется высказывание а<^Ь («Ь, если и

только если о»); не путать с одинарной импликацией а-*Ь («если а, то Ь»). Высказывание

«Ь, если и только если а» означает истинность двух высказываний: «если а истинно, то и Ь

истинно» и «если а ложно, то и Ь ложно». Поэтому двойная импликация я<->Ј истинна

только в этих случаях и ложна в остальных (см. рис. 4.5).

Форму двойной импликации имеет, например, высказывание «совершивший уголовное

преступление подлежит уголовному наказанию» (—Ь), если и только если возраст со-вершившего уголовное преступление не меньше 14 лет (=а). Очевидно, что истинны высказывания: «если возраст ...не меньше 14 лет, то ... подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 1-я строка) и «если возраст ... меньше 14лет, то не подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 4-я строка), и ложны высказывания: «если возраст ...не меньше 14 лет, то ... не подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 2-я строка) и «если возраст ... меньше 14 лет, то ... подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 3-я строка).

Покажем, как строятся таблицы истинности составных высказываний.

Последовательность построения таблицы для высказывания а(-*Ь) <-» (~avb),

компонентами которого являются простые высказывания а и Ь, приведена на рис. 4.6.

Замечание.

Высказывания, в которых присутствуют скобки, следует читать подобно алгебраическим

выражениям. В данном случае сначала выполняется связка а-^Ь, стоящая в первой скобке,

затем ~а, затем связка ~avb и наконец связка «<->».

Рис. 4.6

Окончательно, при любой комбинации значений истинности высказываний а и Ь (см. рис.

4.6, первые два столбца) высказывание (a-*b)<r*(~avb) всегда истинно.

Последовательность построения таблицы истинности высказывания ~((~а/\~Ь)/\(а\/с}),

состоящего из трех простых высказываний а, Ь, с, приведена на рис. 4.7.

Окончательно, высказывание ~((~а л ~Ь) л ( a v с) ложно только, когда а и Ъ ложны, но

с истинно; а в остальных случаях оно истинно.

Обратим внимание на то, что таблица истинности высказывания, состоящего из двух

простых: а и Ъ, содержала 22 = 4 строк — столько различных комбинаций значений

истинности двух простых высказываний; для высказывания, состоящего из трех простых:

а, Ъ, с, таблица содержала 23 = 8 строк — столько различных комбинаций значений

истинности трех высказываний. Для высказывания, состоящего из четырех простых,

таблица истинности будет содержать 24 = 16 строк и т.д.

Формально — логический анализ правовых норм позволяет в ряде случаев обнаружить

неясности, двусмысленности в их применении. Например, по ст. 112 УК РСФСР

«умышленное причинение телесного повреждения (=а) или нанесение побоев (=Ь),

повлекшее за собой кратковременное расстройство здоровья (=е) или незначительную

стойкую утрату трудоспособности (~d), наказывается лишением свободы на срок до

одного года (=е) или исправительными работами на этот же срок (=/)» возникают

следующие вопросы:

• союзы «или» между а и Ь, между с и d, между ew.f — это дизъюнкции в

неисключающем смысле или в исключающем? Если, например, союз «или» между ей/—

это дизъюнкция с не исключением, т.е. evf, то перечисленные в статье преступные

действия могут быть наказаны и лишением свободы и исправительными работами; если

же это дизъюнкция с исключением, т.е. evj, то используется только какой-то один вид

наказания;

• слово «повлекшее» стоит после высказывания Ъ и по правилам согласования должно

относиться только к Ъ; по содержанию же статьи это слово относится к обоим

перечисленным преступным действиям и следовательно надо писать «повлекшие...»; но с

другой стороны, если часть статьи, расположенную перед словом «повлекшее», заключить

в скобки, т.е. рассматривать как одно высказывание avb (или a v Ь), то неясности не

было бы.

142

Условимся, что в рассматриваемой статье первые два «или» — это дизъюнкция с

неисключением, а последнее «или» — с исключением и что часть статьи перед словом

«повлекшее» заключена в скобки. Тогда логическая формула статьи будет такой:

((av6)A(cv<sf))-»(ey./); формула содержит 6 компонент, ее таблица истинности будет со-

держать 26 = 64 строки.

Анализ приведенной статьи УК убеждает в необходимости использования

символического языка математической логики для уяснения смысла правовых контекстов,

для построения норм права, не допускающих двусмысленных толкований.