Преобразование чисел.

Такое представление чисел обозначает вот такое число: a_nfⁿ + ... + a₁f¹ + a₀f⁰, где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления.

Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведенную формулу:

• ;

• ;

• ;

• .

Мы знаем как узнать чему равно число в любой системе счисления. Но как нам получить это число? Представим что у нас есть некоторое число A, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать?

Мы знаем, что число A можно представить в виде (a_na_{n − 1}...a₀)_f, будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим это число на f. Получим

и остаток от деления a₀. Почему a₀? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a₀ в результате деления дает 0 и a₀ в остатке, т.к. максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак мы получили самую правую цифру a₀ как остаток от деления и число (a_na_{n − 1}...a₁)_f как результат деления числа A на f. Если мы так будем продолжать делить, то получим все цифры a₁,a₂...a_n.

Возьмем для примера полюбившиеся нам число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

• 25 / 2 = 12, остаток 1;

• 12 / 2 = 6, остаток 0;

• 6 / 2 = 3, остаток 0;

• 3 / 2 = 1, остаток 1;

• 1 / 2 = 0, остаток 1.

Что и следовало ожидать, получили: 11001₂.

Представим число 25 в троичной системе счисления:

• 25 / 3 = 8, остаток 1;

• 8 / 3 = 2, остаток 2;

• 2 / 3 = 0, остаток 2.

Получили число: 221₃.

Для укрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

• 25 / 8 = 3, остаток 1;

• 3 / 8 = 0, остаток 3.

Результат: 31₈.

Десятичной система счисления:

• 25 / 10 = 2, остаток 5;

• 2 / 10 = 0, остаток 2.

Результат: 25₁₀.

Чтобы еще лучше понять перевод в различные системы счислений посмотрим какие трансформации происходят внутри числа 4567₁₀.

Представим это число в виде

.

Посмотрим что у нас получиться при последовательном делении на 10:

• делим на 10, получаем и7 в остатке;

• делим еще раз на 10, получаем и6 в остатке;

• и еще раз делим на 10, получаем 4 и 5 в остатке;

• делим в последний раз на 10, получаем 0 и 4 в остатке.

Шестидесятеричная система счисления.

То как мы представляем время на часах это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции для часов, минут и секунд; так как для каждой позиций приходиться использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятиричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, ..., 59), а позиции разделяются двоеточием.

h:m:s

Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле:

h60² + m60¹ + s60⁰ = h3600 + m60 + s

.

Рассмотрим действия с шестидесятеричной системой на двух небольших задачках:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут, сколько это будет в секундах?

2. Нужно испечь десять пирогов, сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицу сложений и умножений шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60х60 ячеек, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятиричную таблицу умножения нам врядли окажется по силам.

Чтобы решить эти задачи можно посчитать все в десятичной системе, а потом результат перевести назад в шестидесятиричную систему.

Приступим. Чтобы перевести 45 минут в количество секунд, нужно просто, подставить числа в верхнюю формулу: h равняется нулю, m равняется 45 и s – нулю, получаем

.

Ответ на первый вопрос: пирог нужно печь в духовке 2700 секунд.

Чтобы узнать сколько потребуется времени чтобы испечь десять пирогов нужно время готовки умножить на количество пирогов, то есть на десять. , но это время в секундах, а нам бы хотелось получить время в привычных нам часах, минутах и секундах, для этого воспользуемся стандартным способом перевода из одной системы счисления в другую, делением на основание счисления. Приступим:

• 27000 / 60 = 450 и 0 в остатке, записываем остаток в младший разряд хх:хх:00;

• 450 / 60 = 7 и 30 в остатке, записываем остаток в следующий разряд хх:30:00;

• 7 / 60 = 0 и 7 в остатке, записываем остаток в старший разряд 07:30:00.

Ответ на второй вопрос: чтобы испечь десять пирогов потребуется 7 часов 30 минут и 0 секунд.