Министерство образования и науки Российской Федерации

«Московский Авиационный Институт»

(научно-исследовательский университет)

(РадиоВТУЗ МАИ)

Кафедра 44-1

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Моделирование методом кусочно-линейной аппроксимации»

Выполнил студент группы ВМ-103

Шеволдаев Д.А.

Проверил:

Жигалов В.И.

Москва 2012г.

СОДЕРЖАНИЕ

Постановка задачи 3

График 4

Расчетная часть

Расчет аппроксимирующих прямых и коэффициентов 5

Расчет погрешности 8

Расчет суммарной погрешности 15

Исследование влияния количества аппроксимирующих

прямых на точность аппроксимации 15

Расчет для аппроксимирующей прямой 15

Расчет погрешности для аппроксимирующей прямой 15

Расчет суммарной погрешности 16

Описание алгоритма 1 15

Описание алгоритма 2 17

Описание алгоритма 3 21

Заключение 24

Список литературы 25

Постановка задачи:

Зависимость цены на продукцию от изменения объема выпуска продукции в относительных единицах представлено в таблице 1:

Таблица 1

V	84	86	88	90	94	98	102	107	112	117	122	132	140
Q	76	84	92	103	107	115	124	111	108	97	116	128	134

Составить разветвляющий и циклический алгоритмы, алгоритм поиска максимального значения функции в виде блок схем. Составить кусочно-линейную аппроксимацию по значениям функции заданной в таблице 1, обеспечив максимальное значение погрешности не более 5%, а суммарную не более 10%.

Исследовать влияние количества аппроксимирующих прямых на точность аппроксимации, уменьшив кол-во прямых на 1. Вычислить максимальную и суммарную погрешности.

Расчетная часть

Расчет аппроксимирующих прямых и коэффициентов:

Для того чтобы рассчитать коэффициенты аппроксимирующих прямых подставим в уравнение Q=A*V+B значения Q и V из таблицы 1

Расчет для 1 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 76=84A+B уравнение 103=90A+B и получим -27=-6A, откуда находим A=4.5.

Подставим A в уравнение: 76=84*4,5+B. Получим B= -302.

Уравнение 1 прямой: Q=4.5V-302

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 2 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 103=90C+D уравнение 107=94C+D и получим -4=-4C, откуда находим C=1

Подставим C в уравнение: 103=90*1+D. Получим D= 13.

Уравнение 2 прямой: Q=V+13

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 3 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 107=94E+F уравнение 124=102E+F и получим -17=-8E, откуда находим E=2.125.

Подставим E в уравнение: 107=94*2.125+F. Получим F=-92.75.

Уравнение 3 прямой: Q=2.125V-92.75

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 4 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 124= 102G+H уравнение 111=107G+H и получим 13=-5G, откуда находим G=-2.6.

Подставим G в уравнение: 124= 102*(-2.6)+H. Получим H= 389.2.

Уравнение 4 прямой: Q=-2.6V+389.2

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 5 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 111=107K+L уравнение 108=112K+L и получим 3=-5K, откуда находим K=-0.6.

Подставим K в уравнение: 111=107*(-0.6)+L. Получим L= 175.2.

Уравнение 5 прямой: Q=-0.6V+175.2

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 6 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 108=112M+N уравнение 97=117M+N и получим 11=-5M, откуда находим M=-2.2.

Подставим K в уравнение: 108=112*(-2.2)+N. Получим N= 354.4

Уравнение 6 прямой: Q=-2.2V+354.4

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 7 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 97=117P+R уравнение 116=122P+R и получим -19=-5P, откуда находим P=3.8.

Подставим P в уравнение: 97=117*3.8+R. Получим R=-347.6

Уравнение 7 прямой: Q=3.8V-347.6

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 8 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 116=122S+T уравнение 128=132S+T и получим -12=-10S, откуда находим S=1.2.

Подставим S в уравнение: 116=122*1.2+T. Получим T= -30.4

Уравнение 8 прямой: Q=1.2V-30.4

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Расчет для 9 аппроксимирующей прямой:

Вычтем из уравнения 128=132W+Z уравнение 134=140W+Z и получим -6=-8W, откуда находим W=0.75.

Подставим W в уравнение: 128=132*0.75+Z. Получим Z= 29

Уравнение 9 прямой: Q=0.75V+29

Проверка правильности расчета коэффициентов: совпадает со значениями из таблицы.

Коэффициенты:A=4.5; B= -302; C=1; D=13; E=2.125; F=-92.75;

G=-2.6; H=389.2; K=-0.6; L=175.2; M=-2.2; N=354.4;

P=3.8; R=-347.6; S=1.2; T=-30.4; W=0.75; Z=29;

Расчет погрешности:

После расчета всех коэффициентов приступаем к расчету погрешности.

где,

табличное значение функции в данной точке

рассчитанное значение функции

максимальное значение функции из таблицы 1

минимальное значение функции из таблицы 1

Расчет погрешности для 1 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=84 в уравнение Q=4.5*V-302

Q=84*4.5-302=76;

Q_таб.=76;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу

Получим:

Подставим V=86 в уравнение Q=4.5*V-302

Q=86*4.5-302=85;

Q_таб.=84;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=88 в уравнение Q=4.5*V-302

Q=88*4.5-302=94;

Q_таб.=92;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=90 в уравнение Q=4.5*V-302

Q=90*4.5-302=103;

Q_таб.=103;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 2 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=90 в уравнение Q=V+13

Q=90+13=103;

Q_таб.=103;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=94 в уравнение Q=V+13

Q=94+13=107;

Q_таб.=107;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 3 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=94 в уравнение Q=2.125*V-92.75

Q=94*2.125-92.75=107;

Q_таб.=107;

Q_max=1.9;

Q_min=0.15;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=98 в уравнение Q=2.125*V-92.75

Q=98*2.125-92.75=115.5;

Q_таб.=115;

Q_max=1.9;

Q_min=0.15;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=102 в уравнение Q=2.125*V-92.75

Q=102*2.125-92.75=124;

Q_таб.=124;

Q_max=1.9;

Q_min=0.15;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 4 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=102 в уравнение Q=-2.6*V+389.2

Q=-2.6*102+389.2=124;

Q_таб.=124;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=107 в уравнение Q=-2.6*V+389.2

Q=-2.6*107+389.2=111;

Q_таб.=111;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 5 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=107 в уравнение Q=-0.6*V+175.2

Q=-0.6*107+175.2=111;

Q_таб.=111;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=112 в уравнение Q=-0.6*V+175.2

Q=-0.6*112+175.2=108;

Q_таб.=108;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 6 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=112 в уравнение Q=-2.2*V+354.4

Q=-2.2*112+354.4=108;

Q_таб.=108;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=117 в уравнение Q=-2.2*V+354.4

Q=-2.2*117+354.4=97;

Q_таб.=97;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 7 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=117 в уравнение Q=3.8*V-347.6

Q=3.8*117-347.6=97;

Q_таб.=97;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=122 в уравнение Q=3.8*V-347.6

Q=3.8*122-347.6=116;

Q_таб.=116;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 8 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=122 в уравнение Q=1.2*V-30.4

Q=1.2*122-30.4=116;

Q_таб.=116;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=132 в уравнение Q=1.2*V-30.4

Q=1.2*132-30.4=128;

Q_таб.=128;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет погрешности для 9 аппроксимирующей прямой:

Подставим V=132 в уравнение Q=0.75*V+29

Q=0.75*132+29=128;

Q_таб.=128;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Подставим V=140 в уравнение Q=0.75*V+29

Q=0.75*140+29=134;

Q_таб.=134;

Q_max=134;

Q_min=76;

Подставим полученные значения в формулу:

Получим:

Расчет суммарной погрешности:

Q_sum=1.7%+3.4%+0.862%=5.962%