- •В1 Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
- •В3 Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решения задач целочисленного программирования.
- •В4 и 5 Решение задач о рюкзаке и коммивояжера методом ветвей и границ.
- •В6 Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графическое решение задачи.
- •Графическое решение задачи
- •В7 Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.
- •Этап 1.
- •Этап 2.
- •В8 Модели теории игр. Осн. Понятия теории игр. Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •В9 Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегиях путем сведения к задаче линейного программирования.
- •В10 Модели теории игр. Решение матричных игр графическим и приближенным методом
- •В12 Модель межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в натуральной форме
- •В13 Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стоимостной форме
- •В14 Модели межотраслевого баланса. Продуктивность балансовой модели
Графическое решение задачи
Определить интервал изменения параметра t и найти значения переменных x1 и x2, при которых максимум линейной функции , достигается в одной и той же вершине области допустимых решений системы ограничений
Находим область допустимых решений системы ограничений. Это многоугольник ABCD. Придадим параметру самое малое значение t=0, тогда получим функцию с постоянными коэффициентами
Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.
Область допустимых решений задачи
Далее приравняем ft к нулю и найдем уравнение разрешающей прямой при любом t:
Запишем угловой коэффициент kf этой прямой и исследуем его поведение при изменении параметра t:
При t=0 его начальное значение kf = -2
Найдем производную углового коэффициента по параметру t:
Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловой коэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрастания:
Так как при t+ угловой коэффициент kf приближается к нулю со стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая поворачивается против часовой стрелки до предельного горизонтального положения. (На- помним, что при вертикальном положении прямой угловой коэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямой против часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения угловой коэффициент возрастает от 0 до +, при дальнейшем вращении прямой он возрастает от - до 0.)
В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля до некоторого значения максимум функции будет в вершине C . Далее в некоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигаться на отрезке BC , а затем он перейдет в точку B и останется в ней для всех больших значений t .
Определим значение параметра t , при котором решение задачи окажется на отрезке BC . Поскольку в этот момент прямая BC и разрешающая прямая должны быть параллельны, приравняем их угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC kBC 4/5 , следовательно,
Итак, при 0 t 3 оптимальное решение задачи будет в вершине C8,3;1,3, при t 3 оно достигается на всем отрезке BC , а при 3t 8 – в точке B2,2; 6,2.
В7 Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.
Алгоритм решения задачи c предыдущего вопроса состоит из двух этапов.
Этап I. Параметру t дают фиксированное значение, например t= . Этим задача приводится к задаче линейного программирования. Решая эту задачу симплекс-методом, находят вершину, в которой f t достигает максимума.
Этап II. Определяют интервал изменений параметра t , для которого максимум ft достигается в одной и той же вершине многогранника . Найденный интервал исключают из отрезка [;]. Для оставшейся части отрезка снова решают задачу симплекс-методом, т. е. переходят к этапу I. Решение продолжается до тех пор, пока весь отрезок [;] не будет разбит на частичные интервалы.
Подробно алгоритм решения рассмотрим на примере.
Пример 1. Найти интервалы изменения параметра t на отрезке [;] для которых достигает максимума в одной и той же вершине области допустимых решений системы ограничений
Решим задачу в два этапа.