19.Точечные оценки истинного значения на основании ограниченного ряда наблюдений.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением,

Действительное значение ИВ : А,ее оценка: (функция, зависящим от вида распределения ИВ и результата измерения).

= (x₁,x₂..,x_n). Вид таких функций должен удовлетворять некотрым условиям, при которых имеет смысл принимать за наим приближенное значение ИВ А только оценку .

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1.Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2.Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3.Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Рассмотрим случайную величину х, имеющую функцию распределения F(x). Пусть x₁,x₂..,x_n-выборка, состоящая из n наблюдений величины х. Их можно рассматривать как n независимых величин с одинаковым законом распределения, совпадающим с распределением F(x).

M[x_i]=M[x]; Д[x_i]=Д[x]; где i=1 n. В качестве оценки истинного значения применяется среднее арифметическое значение = = . Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку МО результата измерений и может стать оценкой истинного значения ИВ лишь после искл СисП. Дисперсия ср арифметического значения в n раз меньше дисперсии единичного наблюдения Д_n[x]= .

=

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Также используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Для случая нормально распределенных случайных погреш­ностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, сов­падают с оценками максимального правдоподобия.

Точечная оценка погрешности измерения-неполная, т.к.указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение А, но ничего не говориться о вероятности попадания величины А в этот интервал. Точечная оценка позволяет сделать некотрые выводы о точности произведенных измерений, поэтому ее рекомендуется использовать совместно с др результатами измерений, но не как окончательный результат.

20. Интервальные оценки истинного значения.

Интервальная оценка – это более полный и надежный способ оценки случайной величины, который с заданной степенью достоверности включает в себя значения оцениваемого параметра. Здесь определяется доверительный интервал ( ), между границами которого с определенной доверительной вероятностью Р находится истинное значение.

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, при этом выбираемое значение должно быть 1)достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода(чтобы не была забракована правильная оценка),2)слишком малое значение q может привести к ошибке 2-ого рода, когда будет принята ложная оценка.Поэтому уровень значимости лежит в пределах 0,02 q 0,1

В общем случае доверительный интервал можно строить на основе неравенства Чебышева. При этом надо знать не вид распределения, а только среднее квадратич. отклонение ( )

С помощью СКО можно оценить вероятность того, сто при однократном измерении случайная погрешность по абсолютному значению не превысит некотрого наперед заданного значения( )

P{│ │< } 1 - /

Однако получаемые интервалы оказываются слишком широкими, поэтому на практике выясняют вид распределения выборочных характеристик, используя в качестве оценки выборочн.величины, задаются доверительные вероятности и определяют доверительный интервал.