2.2. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел используются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются из базисных чисел данной системы счисления в результате применения каких-либо операций. Символы, используемые для записи чисел, могут быть разными, и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, …9. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, обозначаемые I, V, X, L, C, D, M, а другие числа получаются путем сложения и вычитания базисных. Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел, называются аддитивными.

Позиционные системы счисления

Для представления чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Система называется позиционной, если значение каждой ее цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу старшего разряда:

354 = 3 ∙ 10² + 5 ∙ 10¹ + 4 ∙ 10⁰ .

Таким образом, десятичная запись любого числа X основана на представлении этого числа в виде полинома:

X = a_m∙10^m + a_m-1∙10^m-1 + …+a₁∙10¹ + a₀ ∙ 10⁰ + a _-1∙10 ^-1 … + a _–m∙10 ^–m, (2.1)

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел 0, 1, 2, …9.

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Запись произвольного числа в К-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

X = a_m∙K^m + a_m-1∙K^m-1 +…+ a₁∙K¹ + a₀∙K⁰ + a_-1∙К^-1 + … + a_-m∙K^–m (2.2)

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел 0, 1, 2, …К – 1.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко применяется двоичная система счисления. Это связано с тем, что в таких устройствах используются элементы с двумя устойчивыми состояниями (например, есть заряд на конденсаторе или нет). Двоичная система – это система с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1.

Произвольное число в двоичной системе счисления представляется в виде полинома:

X = a_m∙2^m + a_m-1∙2^m-1 +… + a₁∙2¹ + a₀∙2⁰ + a_-1∙ 2^-1 +… + a _-m∙2^–m (2.3)

Примеры чисел в двоичной системе счисления:

1 = 1₂

2 = 10₂

3 = 11₂

4 = 100₂

5 = 101₂

0,5 = 0,1₂

0,25 = 0,01₂

Таблица сложений чисел в двоичной системе счисления имеет вид

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Таблица умножений чисел в двоичной системе счисления имеет вид

0 ∙ 0 = 0

0 ∙ 1 = 0

1 ∙ 0 = 0

1 ∙ 1 = 1

В вычислительной технике используются и другие позиционные системы: восьмеричная или шестнадцатеричная. В восьмеричной системе счисления базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами из базисного набора.

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Для обозначения первых девяти чисел используются арабские числа от нуля до девяти, остальные обозначаются латинскими буквами a, b, c, d, e, f.