20. Формула для вычисления функции Эйлера. Лемма Гаусса о сумме значений функции Эйлера по всем делителям данного числа.

Эйлера по все м делителям данного числа.

Теорема.(Формула для вычисления функции Эйлера): Пусть – каноническое разложение, тогда . Док-во: Пусть p – простое число и нужно вычислить , для этого выпишем полну. Систему вычетов по

1,	2,	…	p,
p+1,	p+2,	…	2p,
2p+1,	2p+2	…	3p,
…	…	…	…
		…

В каждом столбце, кроме последнего стоят числа, взаимно простые с p, а в последнем столбце стоят числа которые делятся на p. Всего чисел в системе , а в последнем столбце

Вывод: чисел, взаимно простых с , будет это значит

Поскольку функция Эйлера мультипликативна, то

Лемма ГАУССА: Сумма значений функции Эйлера по всем делителям числа m равна m: – сумма по всем x, которые являются делителями m. Доказательство: Пусть p – простое число, рассмотрим сумму:

. Пусть – каноническое разложение. Рассмотрим выражение

21. Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 2, 3, 4 и 5.

Общий вид. Пусть натуральное число А записываемое в десятичной системе счисления как , где - единицы, - десятки и т.д.

Пусть m – произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него. Находим ряд остатков по следующей схеме:

- остаток от деления 10 на m, - остаток от деления на m,

- остаток от деления на m, …, - остаток от деления на m

Формально

Так как остатков конечное число (а именно m), то этот процесс зациклится (не позже, чем через m шагов) и дальше можно его не продолжать. Начиная с некоторого , где р – получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что . Тогда А имеет тот же остаток от деления на m, что и число

Док-во. Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем

Признак делимости на 2

Здесь m=2. Так как , то , . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра четна.

Признак делимости на 3

Здесь m=3. Так как (остаток от деления 10 на 3 равен 1), то все . Значит, остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3, или иначе: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Здесь m=4. Находим последовательность остатков: . Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5

Здесь m=5. Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра – 0 или 5.