32. Периодические дроби. Теоремы о преобразовании несократимой дроби в периодическую дробь.

33. Правила преобразования периодической дроби в обыкновенную дробь.

Правило1: Чтобы записать число периодической дроби в виде обыкновенной дроби, надо период дроби записать в числителе, в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде и полученную дробь добавить к целой части.

Правило2: Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, нужно от числа, которое стоит до второго периода, отнять число, которое стоит до первого периода и записать полученную разность в числитель. В знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде (S) и после девяток записать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом (t).

34. Системы линейных сравнений. Система двух линейных сравнений и теорема о ее разрешимости. Китайская теорема об остатках.

Рассмотрим систему сравнений (1). Решить такую систему – значит найти числа, удовлетворяющие каждому из этих уравнений.

Теорема. Система (1) либо не имеет решений, либо имеет одно решение, либо имеет одно решение по модулю НОК [m₁, m₂, …, m_k]. Док-во: ММИ по k: k=2 . Если НОД (m₁, m₂)=d и (c₂ – c₁) не , то нет решений. Если (c₂ – c₁ ) , то есть решение: => => . Получаем , значит и .

x₀

- единственное решение. Пусть верно для k – 1 cравнений. Докажем для k.

2 cлучай. 1) Система не имеет решений для случая k – 1 => вся система не имеет решений. 2) Система k – 1 сравнений имеет 1 решение.

Следствие. Система (1) при попарно взаимно простых модулях ( ) имеет ед. решение. Д-во: ММИ по k: k=2

имеет единственное решение по модулю m₁, m₂.

Китайская теорема об остатках.

Если в системе сравнений модули попарно взаимно простые числа М=m₁*m₂*…*m_k, a y – являются решениями таких сравнений:

=> является единственным решением по модулю М. Док-во:

и отсюда следует .

Если какое-то из сравнений сис-мы (2) не имеет решение, то система не имеет решений.

=> Если сущ. решений нет.

Если то

…

35. Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю.

Пусть НОД(a,m)=1.

Опр. Класс а наз. первообразным по модулю m, если его порядок по модулю m равен . Т.е. P(a)= .

Теорема. По простому модулю m=p существует первообразных корней. Док-во: Класс а^р–1 =класс 1 – первообразный корень по модулю р. Поскольку, если р – простое и (р-1) кратно k, то . А это значит, что при k=р-1 получим .

Теорема

Если а первообразный корень по модулю m, то числа а, а², … , образуют приведённую систему вычетов по модулю m.

Теорема

Если р-простое число, то =р-1=р₁^α1р₂^а2…p_s^as. а является первообразным корнем по модулю m тогда и только тогда, когда

а в степени не сравнимо с 1 (mod p)

…

а в степени не сравнимо с 1 (mod p).

Док-во:

Необходимость очевидна(если хотя бы одно сравнение имело бы место, то а не было бы первообразным корнем).

Достаточность. Пусть выполняются все соотношения. Докажем, что а первообразный корень. Если для любого k (р–1) кратно k, тогда k делит одно из этих чисел , … , тогда найдётся такое i, что кратно k. Значит, =kl, l – натуральное. А это значит, а в степени =a^kl=(a^k)^l сравнимо 1(mod p). Значит, а в степени сравнимо 1(mod p), что невозможно в силу условия.