- •Нод и нок нескольких целых чисел.
- •Конечные цепные дроби. Представление числа в виде конечной цепной дроби.
- •Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.
- •Систематические числа.
- •Простые числа. Свойства простых чисел.
- •Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
- •Простые числа. Решето Эратосфена.
- •Основная теорема арифметики.
- •Теорема о делимости натуральных чисел, разложенных на простые множители.
- •Кольцо целых гауссовых чисел . Норма целого гауссового числа и ее свойства. Пифагоровы числа.
- •Теорема о делении с остатком в кольце целых гауссовых чисел. Делители единицы (единицы) в кольце .
- •Делимость целых гауссовых чисел.
- •Линейные диофантовы уравнения. Представление всех решений линейного диофантова уравнения.
- •Количество и сумма натуральных делителей. Мультипликативные числовые функции.
- •Целая часть числа и ее свойства.
- •Сравнения и их свойства.
- •Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.
- •Приведенная система вычетов. Функция Эйлера. Признак приведенной системы вычетов.
- •Основная лемма о приведенных системах вычетов по двум взаимно простым модулям. Мультипликативность функции Эйлера.
- •Формула для вычисления функции Эйлера. Лемма Гаусса о сумме значений функции Эйлера по всем делителям данного числа.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 2, 3, 4 и 5.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 6, 7 и 8.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 9 и 11.
- •Группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
- •Теоремы Эйлера и Ферма.
- •Сравнения с одной неизвестной.
- •Линейные сравнения: критерий разрешимости и количество решений.
- •Периодические дроби. Теоремы о преобразовании несократимой дроби в периодическую дробь.
- •Правила преобразования периодической дроби в обыкновенную дробь.
- •Системы линейных сравнений. Система двух линейных сравнений и теорема о ее разрешимости. Китайская теорема об остатках.
- •Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю.
- •Индексы по простому модулю.
- •Теорема о свойствах индексов и следствие из нее.
- •Формула перехода от системы индексов с основанием к системе индексов с основанием (пример 1).
- •Двучленные сравнения. Решение двучленных сравнений. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.
- •Теорема
- •Теорема
- •Критерий Эйлера
Нод и нок нескольких целых чисел.
Опр.: Пусть . Целое число называется общим делителем , если
Опр.: Пусть , хотя бы одно из которых не равно нулю. Наибольшим общим делителем называется целое число , которое является общим делителем и кратно любому их общему делителю.
Лемма1: Если существует , то . , . Пусть - общий делитель . Тогда
Лемма2: Если и , то . общий делитель , но аналогично получаем , тогда
Лемма3: Если (не обязательно деление с остатком), то 1) 2) . Докажем сразу свойство 2, т.е. свойство 1 – частный случай свойства 2. тогда . Пусть
Алгоритм Евклида
Пусть , тогда остаток равен нулю. Остатки от делений – это целые неотрицательные числа, которые удовлетворяют условию: . Эта последовательность не может быть бесконечной. Значит, на каком-то шаге деления получится остаток =0. Этим и объясняется последнее равенство (1). Равенство (1) – алгоритм Евклида.
Т: ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА: Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида равен Докажем, что - общий делитель . Следуем по алгоритму Евклида снизу вверх. , но тогда Пусть , докажем, что . По алгоритму Евклида сверху вниз
Следствие: Если , то существует и единственный с точностью до знака. Единственность следует из леммы 2. Если , то существование следует из условия . Если , то существование НОД следует из алгоритма Евклида.
Пример: Найти НОД(525,231). 1) 525=231*2+63, 2) 231=63*3+42, 3) 63=42*1+21, 4) 42=21*2+0. Ответ: 21.
Т: О ЛИНЕЙНОМ ВЫРАЖЕНИИ НОД: Если , то существуют целые такие, что . Предположим, что . Пусть
Пример: Найти линейное выражение НОД(525,231)=21. 21=63+42*
*(–1)=63+(213+63*(–3))*(–1)=231*(–1)+63*(1+3)=231*(–1)+63*4=
=231*(–1)+5251+231*(–2)*4=231*(–1)+525*4+231*(–9);
21=524*4+231*(–9).
Св-во: – наименьшее натуральное число , которое представимо в виде То, что выражается в виде доказано ранее в теореме О ЛИНЕЙНОМ ВЫРАЖЕНИИ.
Св-во: – наибольший общий делитель чисел . Пусть , – общий делитель чисел . , т.к.
Наименьшее общее кратное
Опр.: Пусть целые ненулевые числа. Целое число называют из общим кратным, если
Опр.: . Натуральное число называют наименьшим общим кратным чисел , если оно является их общим кратным и при этом оно делит любое общее кратное чисел и .
Св-во: Если существует, то оно единственное. общее кратное , но при этом . Аналогично получаем, то
Св-во: Если существует, то оно является наименьшим по величине натуральным числом, которое кратно и , и . Пусть , – общее кратное чисел , тогда
Св-во.: при любой комбинации знаков +/–.
Т.: Формула связи НОК и НОД: . , тогда – общее кратное. – общее кратное , , но , тогда по свойству
Пример: Найти . .
Следствие: . Очевидно.
Св-во: Пусть , тогда . 1) 2)