5. Простые числа. Свойства простых чисел.

Натуральное число называется простым, если оно делится только на 1 и себя (других натуральных делителей нет). Свойства простых чисел:

Свойство 1. Каждое натуральное число имеет хотя бы один простой делитель; Док-во. Пусть составное число и . А так как , значит . С другой стороны с и , значит и . Получили противоречие из предложения того, что составное число.

Свойство 2.целое число и простое число либо взаимно просты, либо ; Док-во. Пусть , значит . Т.к. - простое число, то его делителями могут быть 1 или . - взаимно простые числа, .

Свойство 3. если произведение - двух целых чисел делится на простое число - , то хотя бы один из сомножителей делится на ;

Док-во. , предположим если

• - то очевидно;

• если не делится на , то . Следовательно по свойству взаимно простых чисел .

Следствие 1. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей.

Док-во. , - простое число такой что .

ММИ по : если следует выполнение из свойства 3;

если , тогда , тогда такой что ;

если , тогда или или такой что , .

Следствие 2. Если - простое число и , где - простые числа, то - совпадает с одним из . Док-во. ММИ по : если ;

_{Предположим, что верно при} . Если 

. 

Следствие 3. Если - простые числа, то либо либо - взаимно простые, т.е. .

6. Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.

Опр1. Натурал. число p>1 наз. простым, если оно делится только на 1 и себя (др. натур. Делителей нет; др. полож. целых делителей не имеет).

Опр2. Натур. число наз. составным, если оно имеет делители кроме 1 и себя. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Т.Евклида: множество простых чисел бесконечно. Док-во от противного: Пусть мн-во простых чисел конечно, т.е. p₁,p₂,…,p_n. Рассмотрим число p=p₁p₂….p_n+1. По св-ву 1(каждое натур. число n>1 имеет хотя бы 1 простой делитель) число p имеет простой делитель; обозначим его q.

. Ч.т.д.

Сп-бы нахождения простых чисел.

Эйлер (18в). Ряд расходиться. p_n – простые числа. f(x)=x²+x+41

f(1)=43; f(2)=47; f(3)=53; Все простые числа для x≤39. Но f(40)=1681=41².

Ферма(18 в). f_n= (числа Ферма).

f₁=5; f₂=17; f₃=257;f₄=65537; f₅-состовное.

Опр. Близнецами наз. два простых числа с разностью 2. (5,7;….11,13;….)

Опр. Дружественные числа – пара натуральных чисел, каждый из которых равен сумме собственных делителей второго числа. (284,220)

284 (собств. делители 1,2,4,71,142….1+2+4+71+142=220) 220 (собств. делители 1,2,4,5,11,10,20,22,55,44,110…. Сумма = 284)

Опр. Совершенное число – целое положительное число равное сумме всех своих собственных делителей. (6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;…) Чётное совершенное число можно получить по формуле n=2^p-1(2^p-1) при условии, что p, 2^p-1 – простые числа.