2. Конечные цепные дроби. Представление числа в виде конечной цепной дроби.

Опр.: Конечной цепной дробью наз. число, записанное в виде , где – целое число, . Элементы наз. элементами цепной дроби.

Примеры: Можем ли мы целое число представить в виде конечной цепной дроби? Ответ: Да 3=(3).

Если не поставить условие , то одно и то же рациональное число можно представить двумя способами в виде цепной дроби.

ВЫДЕЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ:

Пусть , тогда существует единственное представление .

Примеры: .

Опр.: Целой частью рационального числа наз. наибольшее целое число, не превосходящее рациональное число . Обозначение: .

Опр.: Дробной частью числа наз. разность . Обозначение: .

Примеры:

Опр.: Определение целой части согласно формулам (1), наз. выделением целой части. .

РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА В ВИДЕ КОНЕЧНОЙ ЦЕПНО ДРОБИ:

Пусть . Применим к алгоритм Евклида для нахождения НОД. .

Т.: Любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.

Пример: Разложить рациональное число в конечную цепную дробь. Запишем теперь цепную дробь: .

Т.: Представление рационального числа в виде конечной цепной дроби однозначно (конечно).  Целая часть цепной дроби равна ее первому элементу . Число элементов дроби >2 – аналогично.

Предположим Повторным сравнением целых частей получаем . Если . Если - противоречие. 

3. Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.

Опр.: Дроби вида называют подходящими дробями. - подходящая дробь порядка

переходит в , если в заменить выражением :

На основании ММИ получаем: - рекуррентные формулы для вычислений подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей.

Схема для вычисления подходящих дробей:

					…				…
	1				…				…
	0				…				…

Свойства подходящих дробей: . По формуле (*) т.е. все по абсолютной величине все равны. .

Следствие: .

Следствие: Все подходящие дроби являются несократимыми. Если - несократимая дробь, а - ее последняя походящая дробь, то

Следствие: .  

Следствие: Пусть предпоследняя подходящая дробь для данного разложения в циклическую дробь. Тогда .

4. Систематические числа.

Определения:

• основанием позиционной системы счисления называется некоторое определенное натуральное число ;

• число 0, 1, 2, …, называются цифрами;

• натуральное число представленное в виде: , где - цифры и называется -значным систематическим числом с основанием ;

• место занимаемое цифрой при написании числа позиционной системе называется разрядом;

• в зависимости от выбора основания систематическое число называется двоичным при , троичным при , десятичным при и т.д.;

• обозначение .

Теорема: каждое натуральное число можно однозначно записать в виде систематического числа системы счисления с основанием .

Операции над систематическими числами проводятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Каждый раз когда получается число основанию системы счисления нужно сделать перенос в следующий разряд.