1.Среднеарифметическая
1.1.Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность.
1.2.Если
объем совокупности данных большой и
представляет собой ряд распределения,
то исчисляется взвешенная
среднеарифметическая величина.
Так определяют средневзвешенную цену
за единицу продукции: общую стоимость
продукции (сумму произведений ее
количества на цену единицы продукции)
делят на суммарное количество продукции.
2.
Средняя
гармоническая
— используется в тех случаях когда
известны индивидуальные значения
признака
и
произведение
,
а частоты
неизвестны.
2.1.В тех случаях, когда произведение одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:
Средняя гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.
Взвешанная
Среднехронологическая
Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:
Среднегеометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей. Исп. для расчёта ср. скорости изм. анализ. показателя.
Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции.
5.1 Простая
5.2. Взвешанная
6. Описательная средняя
6.1. мода-величина признака кот. чаще всего встречается в дан. сов-ти
6.2. медиана- варианта расположенная в середине ранжированного ряда
16. Вариация - это различие в значениях какого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.
Абсолютные:
Размах или амплитуда
2)линейное отклонение
3)среднее квадратическое отклонение
для
объемных инетенсивных
для
экстенсивных
Относительные:
1)относит размах
g=R/x среднее*100%
2)относит линейн отклонение
Q=L/ x среднее*100%
3)коэф вариации
V=сигма// x среднее*100%
17. Дисперсия - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:
Или
для
не сгруппированных данных,
для
сгруппированных данных.
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2.Уменьшение
всех значений признака на одну и ту же
величину не изменяет величину дисперсии:
3.
Уменьшение
всех значений признака в к раз уменьшает
дисперсию в k2 раз
4.
Средний квадрат отклонений, исчисленный
от среднего арифметического, всегда
будет меньше среднего квадрата отклонений,
исчисляемого от любой другой величины:
Величина различия между ними вполне определенная, это квадрат разности между средней и этой условной величиной А.
18.Связь называется корреляционной, если значению результативного показателя соответствует несколько значений факторного признака, и наоборот, при одном и том же значении факторного показателя можно достичь разных значений результата.
За результативный показатель в каждом конкретном анализе выбирается более важный с точки зрения цели исследования признак, отражающий результаты деятельности. Например, объем валовой продукции, объем прибыли, уровень рентабельности. Для этих результативных показателей факторными могут быть: наличие основных производственных фондов, фондообеспеченность, фондовооруженность, производительность труда или трудоемкость, урожайность отдельных культур, продуктивность животных и т.д.
Корреляционно-регрессионный анализ как статистический метод занимается взаимной вариацией различных показателей, когда изменение одного признака влияет на изменение другого.
Очень часто в статистической литературе под регрессией понимают нахождение математического уравнения связи, под корреляцией – определение тесноты связи изучаемых признаков.
Уравнение регрессии записывается в следующем виде:
Yx1,x2,…,xn = f(x1;x2;…;xn), где "n" – число факторов, включенных в модель; .Хi – факторы, влияющие на результат У.
Условия применения корреляционно-регрессионного анализа:
1. Для построения регрессионной модели надо иметь достаточно большое количество единиц анализируемой совокупности (не менее 50).
2. Распределение показателей, включенных в модель должно быть близким к нормальному, т.е. сила вариации каждого фактора должна быть незначительной.
Этапы корреляционно-регрессионного анализа:
Предварительный (априорный) анализ.
Он дает неплохие результаты если проводится достаточно квалифицированным исследователем.
Сбор информации и ее первичная обработка- выявляются ошибки, информация проверяется на нормальность распределения, иногда проводят группировку для предварительного установления связей.
Построение модели (уравнения регрессии).
Как правило эту процедуру выполняют на ПК используя стандартные программы.
4. Оценка тесноты связей признаков, оценка уравнения регрессии и анализ модели.
Прогнозирование развития анализируемой системы по уравнению регрессии.
19.Среди парных выделяют: линейные и криволинейные связи. Для их могут быть использованы следующие уравнения регрессии:
1.
Линейное уравнение регрессии:
2.
Степенная связь:
или
Это уравнение может быть приведено к линейному логарифмированием:
log Y = log a + b log x
3.
Показательная связь:
Уравнение приводится к линейному виду:
log
Y
= log
a
+(log
b)
x
4.
Гипербола:
Это уравнение преобразуется в линейное
подстановкой величины, обратной x,
т.е.
тогда
.
5.
Парабола:
Процесс построения регрессионной модели сводится к осреднению результата и факторов.
Пусть исходные данные "x" и "y" сведены в таблицу.Таблица 1.
№ п/п |
x |
y |
x2 |
xy |
|
1 |
x1 |
y1 |
|
x1y1 |
|
2 |
x2 |
y2 |
|
x2y2 |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
n |
xn |
yn |
|
xnyn |
|
∑ |
∑x |
∑y |
∑ |
∑xy |
∑ |
∑
=
∑yx
Для парной связи можно построить точечную диаграмму на основании которой можно определить вид уравнения регрессии:
Y
.
.
. . .
. . .
. . .
.
.
x
Уравнение регрессии должно быть построено таким, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов разности отклонений эмпирических значений результата от теоретических, т.е. полученных по модели:
∑(y1 – y1)2 = min
Это достигается при использовании метода наименьших квадратов.
Для прямой линии Yx = a0 + a1x составим линейную систему нормальных уравнений (два уравнения с двумя неизвестными).
Получим:
n*a0
+ a1*∑x
= ∑Y,
a0*∑x + a1*∑x2 = ∑XY.
В учебниках по общей теории статистики, как правило, даются формулы для расчета а0 и а1:
где ∆ -- главный определитель знаменателя.
Эти формулы получены при решении системы уравнений через определители второго порядка (правило Крамера).
В полученном уравнении регрессии параметры носят следующие названия:
а0 – свободный член;
а1 – коэффициент регрессии.
В уравнении свободный член может иметь экономико-технологический смысл, а может не иметь.
Коэффициент регрессии всегда интерпретируем. Он показывает в среднем на сколько единиц своего измерения изменится результат, если факторный показатель изменится в среднем на единицу своего измерения.
Например, получено уравнение зависимости уровня рентабельности от уровня механизации производственного процесса:
= 10 + 0,301x;
а0=10% будет отражать уровень рентабельности при полном отсутствии механизации труда;
а1=0,301% показывает, что уровень рентабельности увеличится на 0,3%, если уровень механизации вырастет на 1%.
Имея уравнение, вычислим теоретические значения результативного показателя (см. таблицу 1).
20.1.
Парный коэффициент корреляции :
Величина
называется ковариацией:
(
)=
COVyx
(это показатель величины совместной
вариации Х и Y).
Парный коэффициент корреляции интерпретируется в зависимости от его величины и знака.
Всегда 0<r<1 или –1<r<0.
Если 0<r<1, то связь факторов прямая.
Если –1<r<0, то связь факторов обратная.
Если r< = 0.3, то связь признаков слабая;
если 0.3< │ r │ <0.7, то связь средняя;
если │ r │ >=0.7, то связь сильная (или тесная).
2. Парный коэффициент детерминации:
d=r2 * 100%.
Он показывает, на сколько процентов вариация результата зависит от вариации фактора.
3.
Коэффициент эластичности
( Э ).Коэффициент эластичности находят
как первую производную:
Показывает
на сколько % изм. в ср. рез-т при изм.
фактора (х) на 1% своего ср. знач.
Для линейной связи обычно используют t-критерий (Стьюдента). Определяют t расчетные для a0, a1 и r. Сравнивают полученные значения с t табличными. Если расчетные t больше t табличных, то нуль-гипотеза о недостоверности уравнения отвергается. Таким уравнением можно пользоваться для анализа и прогноза показателей.
Ṿ=n –2 -- число степеней свободы.
ҩ2ост.=
2y
- ҩ2
;
t табличное находим по значению преимущественно при вероятности p=0.90; p=0.95; p=0.99.
В статистике принято для каждого параметра определять доверительные интервалы. Это можно сделать, использовав коэффициент Стьюдента.
ai ±t* ∆ai ;
