- •Раздел 4
- •Теория электромагнитного поля
- •2.Общие вопросы
- •3.Краткие сведения из векторной алгебры
- •4.Первое уравнение Максвелла
- •5.Второе уравнение Максвелла
- •6.Третье уравнение Максвелла
- •8.Теорема Умова-Пойнтинга. Вектор Пойнтинга
- •9.Общая схема движения энергии в электрической цепи.
- •10.Электростатическое поле
- •11.Безвихревой характер электростатического поля
- •12.Электрический потенциал
- •13.Определение потенциала
- •14.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •15.Г Рис. 5.11 раничные условия
- •16.Поле шарового электрода
- •17.Магнитное поле постоянных токов
- •18.Скалярный магнитный потенциал
- •19.Векторный магнитный потенциал
8.Теорема Умова-Пойнтинга. Вектор Пойнтинга
Эта теорема устанавливает энергетические соотношения в электромагнитном поле и направление потока энергии. Рассмотрим малый объем dV в области, занятой электромагнитным полем. В пределах этого объема поле будем считать однородным, т.е. в любой точке объема действуют одинаковые вектора
. Электромагнитное поле обладает энергией, плотность которого определяется выражениями:
- плотность энергии электрического поля,
– плотность энергии магнитного поля.
Энергия электромагнитного поля в малом объеме
. (5.40)
Умножим первое уравнение Максвелла на :
. (5.41)
Умножим второе уравнение на :
. (5.42)
В результате получим
, (5.43)
. (5.44)
Вычтем из первого уравнения второе
. (5.45)
В соответствие с математической формулой
, (5.46)
преобразуем левую часть:
. (5.47)
Проинтегрируем уравнение по объему с учетом последнего выражения,
. (5.48)
Преобразуем левую часть по теореме Остроградского. Первое слагаемое правой части это мощность тепловых потерь в объеме. Во втором слагаемом поменяем местами операции интегрирования и дифференцирования. При этом интеграл дает величину энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. С учетом этого получим выражение:
- . (5.49)
Это выражение носит название теоремы Умова-Пойнтинга. Подинтегральное выражение
(5.50)
представляет собой вектор и носит название вектора Пойнтинга. Размерность определяется следующим образом.
; ; .
Таким образом, вектор определяет плотность потока энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно движению энергии. Другими словами, вектор показывает направление движения энергии в данной точке. Левая часть теоремы – поток энергии за единицу времени сквозь замкнутую поверхность S , ограничивающую рассматриваемый объем. Этот поток положителен, если он выходит из объема, наоборот.
Теорема Умова-Пойнтинга это баланс энергии для объема V , ограниченного поверхностью S. В левой части – количество энергии поступающей извне в данный объем за единицу времени. Правая часть показывает, что эта энергия расходуется на тепловые потери (нагрев) и на изменение энергии электромагнитного поля.