3.Краткие сведения из векторной алгебры

Пусть в области G пространства задана функция u =f (P) (P – любая точка области). Это означает, что в области G определено скалярное поле. Если G – область трехмерного пространства, то скалярное поле u можно рассматривать как функцию трех переменных x, y, и z (координат точки Р):

u = u (x, y, z). (5.10)

Пусть эта функция однозначна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. При переходе из одной точки пространства к другой функция изменяется с некоторой скоростью. В каком-то направлении эта скорость будет максимальна, и называется градиентом функции. Градиент – величина векторная:

, (5.11)

где i, j, k - единичные векторы (орты)

Итак, градиент есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания и численно равна скорости изменения функции по этому направлению.

Для сокращения записей в векторной алгебре вводится понятие формального символического вектора .– оператора Гамильтона ( - набла):

. (5.12)

В этом случае градиент трактуется как произведение оператора Гамильтона на скалярную функцию

. (5.13)

Рассмотрим векторную функцию , заданную своими проекциями. Определим скалярное произведение вектора и вектора :

. (5.14)

В результате получается скалярная функция – дивергенция вектора . Дивергенция характеризует расходимость или мощность источника.

Возьмем векторное произведение вектора и вектора При этом будем иметь в виду, что j x k = i , и i*i = 0 .

. (5.15)

Получился новый вектор, который характеризует вращательную способность вектора F. Рассмотрим одну координату ротора. Первая составляющая ( ) – есть скорость изменения координаты Z самого вектора в направлении орты j. В этом направлении вектор растет, и как бы закручивает мельницу против часовой стрелки (рис. 5.1). Плоскость кручения обозначается стрелкой, перпендикулярной к плоскости, направленной к зрителю, и в данном случае по направлению оси i. Вторая составляющая – скорость изменения координаты Y самого вектора в направлении орты к. Стрелка кручения так же направлена по оси i. Остальные координаты ротора получаются таким же образом.

4.Первое уравнение Максвелла

Первое уравнение выводится на основе закона полного тока:

. (5.16)

Этот закон является основным законом, устанавливающим связь между магнитным полем и электрическим током. Он гласит: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур интегрирования. Графическая иллюстрация этого закона приведена на рис. 5.2. На этом рисунке изображен контур, расположенный в магнитном поле. Этот контур пронизывается током I. Для одной из точек контура изображен вектор напряженности магнитного поля H. Выделим бесконечно малый отрезок контура в окрестностях рассматриваемой точки и обозначим его вектором dl, проведенным по касательной к контуру. В пределах бесконечно малого отрезка dl вектор Н изменяется бесконечно мало. Подинтегральное выражение в законе полного тока представляет собой скалярное произведение векторов. Преобразуем левую часть уравнения по теореме Стокса:

Рис. 5.2

. (5.17)

Правая часть полученного уравнения представляет собой поток ротора вектора напряженности магнитного поля сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования. Правая часть закона полного тока может быть развернута следующим образом:

. (5.18)

Тогда закон полного тока запишется в виде

. (5.19)

Так как это равенство справедливо для всех значений интеграла, то подинтегральные функции равны между собой, т.е.

. (5.20)

Э то есть первое уравнение Максвелла или закон полного тока в дифференциальной форме. Здесь δ = δ_пр + δ_пер + δ_см - плотность тока проводимости, плотность тока переноса, и плотность тока смещения соответственно. Здесь δ_пр = γЕ – плотность тока проводимости, δ_пер – плотность тока переноса, δ_см = dD/dt – плотность тока смещения. Ток проводимости и ток переноса не могут существовать в одной точке одновременно. Поэтому остается δ = δ_пр + δ_см . Тогда первое уравнение Максвелла примет окончательный вид:

. (5.21)

Это дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения магнитного поля в пространстве (слева пространственные координаты) со скоростью изменения электрического поля во времени. Оно имеет, как и все дифференциальные уравнения, бесчисленное множество решений. Нужное решение может быть найдено с учетом начальных и граничных условий.