99. В чем идея алгоритма поиска аугментальной цепи?

Поиск аугментальной цепи осуществляется посредством расставления пометок (-xj, δ) или (+xj, δ). Пометки указывают, вдоль каких дуг может быть увеличен поток и на сколько. Как только найдена одна из таких цепей, поток вдоль нее увеличивается до максимального значения, все пометки в вершинах стираются и вновь полученный поток используется в качестве исходного при новой расстановке меток.

100. Как определить, что поток является максимальным?

Нельзя построить аугментальную цепь

101. Как решать задачу о максимальном потоке при нескольких источниках?

Стягиваем в один источник, путем его добавления.

Задача сводится к простой задаче о максимальном потоке путем добавления нового искусственного источника s и стока t с добавлением дуг, ведущих от источника s к каждому истинному источнику, от каждого истинного стока к t.

102. Как решать задачу о максимальном потоке при ограниченном источнике?

Вводим фиктивный источник, дуга от которого введет к истинному источнику, пропускная способность данной дуги = величине ограничения источника.

Добавить перед ним бесконечный.

103. Как решать задачу о максимальном потоке при ограниченной пропускной способности вершин?

Если пропускные способности наряду с дугами имеют и узлы сети, то каждую вершину v, имеющую пропускную способность c(v), следует заменить двумя (v’ и v’’), соединенными дугой (v’, v’’) и c(v’, v’’) = c(v).

В этом случае все узлы сети делятся на 3 группы: S - множество источников, T – множество стоков и R - множество промежуточных узлов. Поток может следовать из любого источника в любой сток. В этом случае сеть модифицируется следующим образом:

Добавим новую вершину S* и соединим ее дугами со всеми вершинами из множества S. Вершина S* называется суперисточником. Добавим новую вершину T* и соединим ее дугами со всеми вершинами из множества T. Вершина T* называется суперстоком. Пропускные способности всех новых дуг положим равными ∞.

Очевидно, что поиск максимального потока из вершин множества S в вершины множества T равносилен поиску максимального потока из S* в T*.

104. Как решаются задачи о максимальном числе непересекающихся путей?

1. Максимальное число путей –нет ребер,пропускная способность 1

2.Выбираем не общие вершины, разделяем их на вход и выход, пропуск способность ед

3. Ищем минимальное количество вершин включающихся в любой путь, любая из них выбир мак путь

105. Что такое паросочетание?

Паросочетание – это множество ребер, в котором ребро связывает вершины, принадлежащие двум разным компонентам связности.

Паросочетание применимо к неориентированным графам.

Паросочетание в неорграфе - это такое подмножество ребер E’ , что никакие ребра из Е’ не содержат общих вершин.

106. Что такое двудольный граф?

Двудольным графом называется граф, у которого множество вершин можно разбить на два непересекающихся подмножества так, что ребра соединяют вершины из разных подмножеств.

107. Что такое чередующаяся цепь? Что можно сказать о числе ребер такой цепи?

Цепь, соединяющая 2 непарные вершины, при этом чередуются ребра не входящие в паросочетание и входящие в паросочетание.

Общее число рёбер нечётное; непарных рёбер на 1 больше, чем парных. Цепь начинается с непарной вер-ны , непарной же и заканчивается.

108. Как можно увеличить паросочетание, если известна чередующаяся цепь?

Исключаем из паросочетаний парные ребра и заменяем их непарными.

109. В чем идея алгоритма поиска чередующейся цепи в двудольном графе?

Начинаем перебор непарных и заканчиваем парными, включаем непарные, потом чередуем парные непарные, заканчиваем непарной.

110. Что такое эйлеров цикл и эйлерова цепь?

Эйлеров цикл – цикл, проходящий по всем рёбрам графа.

Эйлерова цепь - цепь, проходящая по всем рёбрам графа.

Эйлеровым циклом в неор графе называется такой цикл, который включает в себя все рёбра в графе, проходя ровно 1 раз по каждому ребру.

Эйлерова цепь – незамкнутый путь, между 2 вершинами, включающий все рёбра графа.

111. При каких условиях в графе существует эйлеров цикл или эйлерова цепь?

Необходимо, чтобы все вершины были чётной степени.

112. В чем идея алгоритма поиска эйлерова пути?

Будем обходить вершины рекурсивно и удалять пройденные рёбра. В ходе такого обхода попадаем в вершину, где хода нет. Записываем эту вершину в цикл и возвращаемся на шаг назад.

113. Что такое гамильтонов цикл и гамильтонова цепь?

Граф называется гамильтоновым, если он содержит цикл, проходящий по всем вершинам в графе. Аналогично - цепь.

114. Какова трудоемкость поиска эйлерова цикла и гамильтонова цикла?

О(n,m), O(n+m).

Порядок прохода ребер

115. Что такое хроматическое число графа?

Хроматическое число графа - минимальное количество цветов, требуемое для раскраски вершин графа, при которой любые вершины, соединенные ребром, раскрашены в разные цвета.

116. Каковы максимально и минимально возможное значения хроматического числа графа?

γ(G) ≥ n2/(n2−2m)

Каждый планарный граф без петель и кратных ребер является не более чем 5-хроматическим.

117. Какое максимальное хроматическое число может быть у планарного графа?

4

118. Назовите какие-либо жадные алгоритмы раскраски графа.

Алгоритм неявного перебора, алгоритм последовательной раскраски.

- длина пути - это количество входящих в него ребер (ребро считается столько раз, сколько оно повторяется);

- простой путь - это путь в котором все вершины (а, следовательно, и все ребра) различны;

- степень вершины - это количество выходящих из нее ребер, то есть количество ее соседей;

- вершина может называться четной или нечетной, в зависимости от четности ее степени;

- связный граф - это граф, в котором между любыми двумя вершинами есть путь;

- компонента связности - это часть графа, которая сама по себе связна, но ее нельзя расширить так, чтобы она осталась связной; между разными компонентами связности ребер нет (!);