1 билет. Испытание. Событие. Классификация событий. Полная система событий. Вероятность события

Испытание (опыт) – это осуществление определенного комплекса условий, при которых производится наблюдение. Так при стрельбе по мишени испытание состоит в подготовке к стрельбе, заряжении оружия, прицеливании, нажатии на спусковой крючок. Будем предполагать, что испытание может быть повторено (воспроизведено) сколь угодно много раз. Событие – это исход испытания.

При одном выстреле по мишени возможны следующие события: 1 – попадание в мишень; 2 – промах.. При подбрасывании монеты два раза подряд возможны следующие события: 1 – оба раза выпал «герб», 2 – оба раза выпала «цифра»; 3 – в первом подбрасывании - «герб», а во втором - «цифра»; 4 - в первом подбрасывании - «цифра», а во втором - «герб».

Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания, называют элементарными событиями. Так при однократном подбрасывании игрального кубика возможны следующие элементарные события: выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков. Обычно события обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D…

События принято классифицировать. Различают:- достоверные;- невозможные;- случайные события.

Достоверным называют событие А, которое при испытаниях не может не произойти, а при повторении испытаний - всякий раз происходит. (камень упадет на землю; - при достижении температуры 100 °С вода закипит и т.д.) Событие В называют невозможным, если при испытании оно не может произойти. (подброшенный камень не упадет на землю;- оценка на экзамене не будет получена и т.д.) Случайным называют событие, которое при испытании может либо произойти, либо не произойти.(- при подбрасывании монеты могут наступить: - событие А = {упала «гербом» вверх}, : - событие В = {упала «гербом» вниз}.)Здесь А и В – случайные события.

 События А и В называют несовместными, если при одном испытании появление одного из них исключает появление другого. (при стрельбе по мишени: А – попадание; В – промах. События А и В – несовместны. Точно также несовместными являются события А и В выпадение «герба» или «цифры» в одном испытании.)  События А и В называют совместными, если при одном испытании появление одного из них не исключает появление другого.(имеется два зерна. Событие А – первое взойдет; событие В – второе взойдет. События А и В совместные события.)

События А, В, С … образуют в данном испытании полную группу, если они попарно несовместимы и в результате происходит только одно из них.(при бросании игральной кости. Событие А – выпадение 1 очка, В – двух, С – трех, D – четырех, Е – пяти и G – шести очков – это полная группа случайных событий.)  Два несовместных события, образующие полную группу, называют противоположными.  Противоположными являются случайные события выпадения герб – цифра. События А, В, С и т.д. называют равновозможными, если нет оснований считать, что в данном испытании одно из них более возможно чем другое (герб – цифра – равновозможные случайные события).

_____________________________________________________________________________________________________

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием. Результат этого действия или наблюдения называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .Полной системой событий А₁, А₂, А₃, : , А_n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании. Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными: достали пронумерованный шар (А);достали шар с четным номером (В);достали шар с нечетным номером (С);достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу? Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие; В и С - противоположные события. Полную группу событий составляют А и Д, В и С.

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А). Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n. Из этого определения вытекают следующие свойства:

Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы. Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим .

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. n/n=1

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку 0/n=0

Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь между оптимальными решениями пары двойственных задач: можно либо найти оптимальное решение другой задачи, не решая ее, либо установить его отсутствие.

Возможны следующие случаи: обе задачи из пары двойственных имеют оптимальные решения; одна из задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, а другая – ввиду несовместности системы ограничений.

Первая теорема двойственности.

Для двойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев: В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: ; В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым; Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости): Пусть – допустимое решение прямой задачи, а – допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Эти условия устанавливают связь между оптимальными значениями прямой и двойственной задач и позволяют, зная решение одной из них, находить решение другой задачи.

2 Билет. Классическое и статистическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяется равенством Р (А) = m/n, где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством W(A) = m/n, где m—число испытаний, в которых событие А наступило; n—общее число произведенных испытаний. Прн статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка. Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, .... шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, обшее число возможных элементарных исходов испытания равно 6-6 = 36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны. Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков—четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков): 1) 6, 2; 6+2 = 8, 2) 6. 4; 6 + 4=10, 3) 6, 6; 6-f-6= 12, 4)2,6; 2 + 6 = 8, 5) 4, 6; 4 + 6=10. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Р 5/36.

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная н 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) нз ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.Решение а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21 + 10 - 1=30), причем среди них было 20 стандартных (21 - 1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р =20/30 = 2/3. б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р = 10/30= 1/3.

3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны. 4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А). Решение. Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность Р(A)=1/2. Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение. Общее число равновозможных исходов равно 6*6=36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпавших очков): (1; 2) и (2; 1). Следовательно, искомая вероятность Р (А) = 2/36= 1/18.

Метод потенциалов в решении транспортной задачи.

Метод потенциалов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

 Рассмотрим подробнее процесс определения потенциалов текущего плана транспортной задачи. Потенциал первого пункта потребления принимаем равным нулю Теперь, зная его, мы можем определить потенциалы для всех пунктов производства, связанных с первым пунктом ненулевыми перевозками. Для свободных клеток транспортной таблицы вычисляются величины

называемые разностями потенциалов. В таблице они выписаны для всех небазисных клеток под ценами.

Разность потенциалов можно трактовать как увеличение цены продукта при его перевозке из пункта i в пункт j.

Процесс «улучшения» плана состоит в определении вводимой и выводимой клеток, в чем прослеживается содержательная аналогия с соответствующими пунктами симплекс-процедур. Выводимая клетка определяется с помощью так называемой цепочки преобразования плана, описывающей характер перераспределения грузовых потоков. В соответствии со свойствами транспортной задачи для невырожденного базисного плана в текущей таблице можно образовать замкнутую цепочку, состоящую только их вертикальных и горизонтальных звеньев, одной из вершин которой является выбранная свободная клетка, а остальные — занятые клетки. В построенной цепочке, начиная с вводимой клетки (которая считается первой), помечаются вершины: нечетные — знаком «+», а четные знаком «—». Знаком «+» отмечаются те клетки, в которых объемы перевозок должны увеличиться (таковой, в частности, является клетка, вводимая в план, поскольку она должна стать базисной). Знаком «—» — те клетки, в которых перевозки уменьшаются с целью сохранения баланса. Среди множества клеток, помеченных знаком «—», выбирается клетка с наименьшим значением.

Она и становится кандидатом на вывод, т. к. уменьшение объема перевозок на большую величину может привести к отрицательным значениям x_i,j в других «минусовых» клетках. Затем производится пересчет плана по цепочке: к объемам перевозок в клетках, помеченных знаком «+», добавляется объем q, а из объемов клеток, помеченных знаком «—», он вычитается. В результате ввода одной клетки и вывода другой получается новый базисный план, для которого на следующей итерации описанные выше действия повторяются.

Завершая разговор о методе потенциалов, следует отдельно остановиться на ситуации возникновения вырожденного плана. Возможность получения вырожденного плана уже отмечалась при описании метода северо-западного угла. Нетрудно заметить, что вырожденный план также может получиться на этапе преобразования текущего плана по цепочке: если одинаковое минимальное значение будет достигнуто сразу на нескольких клетках, помеченных знаком «—», то при вычитании перемещаемого по цепочке объема в новом плане будет меньше чем m + n-1 ненулевых компонент.

Способ преодоления вырожденности в транспортной задаче весьма прост, а именно: предлагается дополнить текущий план необходимым количеством нулевых клеток (фиктивными перевозками) таким образом, чтобы они позволяли рассчитать полную систему потенциалов, и далее действовать в соответствии с правилами описанного выше алгоритма.

Билет 3.