9) Нормальный зрсв (нзрсв)

 

НЗРСВ характерен для случайных процессов, согласно центральной предельной теореме, причиной которого является наличие множества независимых, случайных, слабовыраженных факторов.       

                                                                                           (2.11)        

                                                                                                                                  

Рисунок 2.4       

 

р – плотность вероятности,

                  ,                                                                                         (2.12)

                 при  ,            

 соответствует точке перегиба графика НЗРСВ.

 - значение погрешности, ограничивающей область НЗРСВ, в которую попадает большая часть погрешностей.

, вероятность стремится к единице.

.                                  (2.13)

Вероятность попадает в интервал ( ) равна приблизительно 2/3.

Вероятность попадания в интервал, ограниченный значением погрешности, соответствующей значению 3-х сигм равна:

 

.                                                                                (2.14)

Равномерный закон распределения случайных величин

 

По этому закону распределяются случайные составляющие погрешности измерений, обусловленные «сухим» трением, погрешности округления отчетов по шкале, погрешности квантования аналого-цифрового преобразователя.

Рисунок 2.7

d = 2a – энтропийная оценка неопределенности измерения.

Первый начальный момент равномерного ЗРСВ равен:

  ,                                                                                          (2.18)

Первый центральный момент равен нулю:

,                                                                (2.19)

,   ,

При равномерной плотности вероятности:

,

второй центральный момент соответствует дисперсии и равен:

.                                          (2.20)

При этом СКО можно определить по формуле:

.

 

Третий центральный момент и коэффициент асимметрии равны нулю:

kассим= .                                                                                                     (2.21)

Четвертый центральный момент и эксцесс, соответственно:

           

                                                            

Показательный закон распределения

Показательный закон распределения случайной величины широко применяется в теории надежности.

 

  Случайная величина распределена по показательному закону, если

                                                

 

Теорема: Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром  , равны: .

10) Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

            Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного  распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

            Определение. Корреляционным моментом m_xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

            Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин: 

Для непрерывных случайных величин:

 

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

 

Определение. Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

                                                                    

            Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

 

            Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

 

            Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

 

            Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Ковариа́ция (корреляционный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин. Определение

Пусть   — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

,

в предположении, что все математические ожидания   в правой части определены.

Замечания

Если  , то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.

В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом   ковариация имеет вид   и играет роль скалярного произведения.

II элементы мат статистики

1) Выборочный метод

Выборочный метод - статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Дискретный и непрерывный ряд.

В предыдущем разделе результаты наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались независимыми. Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка эмпирического распределения или его параметров в "генеральной совокупности" из N объектов по произведённой из неё "выборке", содержащей n < N объектов. Если две варианты признака в данной совокупности могут отличаться одна от другой не менее чем на определенное число или вообще совпадают, то такие данные называют дискретными (число учеников в классах школы; количество баллов, которые набирает ученик при тестировании, и т. п.). Если же две варианты признака могут отличаться одна от другой на произвольно малую величину, то такие данные называют непрерывными (процент учеников, которые имеют достаточный уровень подготовки по предмету в разных классах; время, за которое ученики пробежали 60 м на соревнованиях; продолжительность работы электронных ламп; температура воздуха и т. п.).

     Ряд значений признака, или вариант, полученных вследствие массового обследования однородных вещей или явлений, размещенных в порядке возрастания или убывания их величин, вместе с соответствующими частотами (или относительными частотами) называют вариационным рядом.

     Если в вариационном ряде значения признака (варианты) заданы в виде отдельных конкретных чисел, то такой ряд называютдискретным.

     Если в вариационном ряде значения признака заданы в виде интервалов, то такой ряд называют интервальным.

     Если в интервальном вариационном ряде в двух последовательных интервалах верхнее предельное значение признака одного интервала равняется нижнему предельному значению второго, условно будем считать, что это число принадлежит второму интервалу. Разность между верхней и нижней границами интервала называют шириной этого интервала. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки  . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты  , а на оси ординат – соответствующие им частоты   и соединяют точки  отрезками прямых.

Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты  .

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала   – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению  . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте)  . Площадь i–го прямоугольника равна   – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты  , на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте  . Площадь i–го прямоугольника равна относительной частоте вариант  , попавших в i–й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства. Медиа́на (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако, медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами.

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется (см. ниже), в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши). Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство   и   — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины  . Пусть фиксировано  . Тогда  -квантилью (или квантилью уровня  ) распределения   называется число  , такое что

Выборочные характеристики распределения

Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, т.е. сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленную на ее объем:

где n – объем выборки, x_i – результат измерения (испытания) i-ого элемента выборки.

Другой вид выборочного среднего – выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики. Порядковые статистики – это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборкиx₁, x₂,…, x_n расположить в порядке неубывания:

х(1)<x(2)<…<x(k)<…<x(n). В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах – среднее арифметическое размахов, полученных в определенном количестве выборок одинакового объема. Популярно и межквартильное расстояние, т.е. расстояние между выборочными квартилями x([0,75n]) иx([0,25n]) порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где [0,75n] – целая часть числа 0,75n, а [0,25n] –целая часть числа 0,25n.

2) Точечные и интервальные оценки.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.   ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

    

X = (x₁+x₂+...+x_n)/n,

     где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);       x₁,x₂,...x_n - выборочные значения; n - объем выборки.       ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МОменьше 3 или больше 8 не превышает 0,05.       Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.      Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

     Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X - T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max - нижняя и верхняя границы интервала;      X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);      n - объем выборки;      T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятностиp и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (x_n - X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

   ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ СТАТИСТИКИ - число независимых случайных величин, по которым вычисляется данная статистика. Например, при вычислении среднего арифметического все случайные величины в выборке x₁,x₂,...,x_n независят друг от друга. В оценке S из nотклонений вида (x_i - X)² независимы только n-1 (т.к. в формуле присутствует X, то по любому набору n-1 отклонений вычисляется n-ое). Доверительные интервалы для нормального распределения

  Говорят, что статистики   образуют границы точного доверительного интервала для   уровня   , если

Утверждения предыдущего раздела позволяют нам построить такие интервалы в случае, когда X - выборка из   .

Доверительные интервалы для математического ожидания. Согласно следствию 12 случайная величина   имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Найдем по заданному   из таблиц   на странице   такое  , что

Это означает, что неравенство   будет выполнено с вероятностью   . Разрешая последнее неравенство относительно a, получим

а следовательно, границы искомого доверительного интервала задаются формулой

  

При расчете этих границ мы не пользуемся никакой информацией кроме той, что содержится в самой выборке. Естественно, что если мы знаем, например, чему равна дисперсия, то ширину интервала (9) можно уменьшить, используя это значение вместо оценки S. Это можно сделать, опираясь на теорему 5 .

По таблицам нормального распределения на стр   можно найти такое   , что

Тогда по следствию 3   и значит, поскольку   , то имеет место равенство

Решая неравенство под знаком вероятности относительно a, получим

или

  

Интервал (10) явно уже, чем (9). Итак, если   откуда-то нам известно, то границы доверительного интервала находим по формуле (10), иначе - по формуле (9).

Доверительные интервалы для дисперсии. Если мы введем обозначение   , то согласно теореме 7   . По таблицам распределения   на стр   найдем такие   , что

Это можно сделать многими способами, но обычно исходят из условий

Разрешая двойное неравенство под знаком вероятности относительно   , имеем

или

  

Опять-таки, если известно, чему равно a, то вместо теоремы 7 мы можем воспользоваться теоремой 6 , определить   на этот раз по таблице   как критические точки уровней  и   соответственно, и получить

Границами доверительного интервала здесь будут

  

Ошибка в определении a для расчета (12) чревата гораздо более серьезными последствиями, чем неверно определенное   в (10). Там ошибка могла сказаться лишь на ширине интервала с неизменным центром   для (9) и (10) , а интервалы (11) и (12) могут даже оказаться непересекающимися.