45) Статистические оценки матожидания и дисперсии. Метод моментов.

Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная величина , закон распределения которой содержит неизвестный параметр . Требуется найти подходящую оценку для параметра по результатам независимых опытов, в каждом из которых величина приняла определенное значение. Обозначим оценку для параметра . Любая оценка, вычисляемая на основе материала, должна представлять собой функцию величин: и, следовательно, сама является величиной случайной. Закон распределения зависит, во-первых, от закона распределения величины (и, в частности, от самого неизвестного параметра ); во-вторых, от числа опытов . В принципе этот закон распределения может быть найден известными методами теории вероятностей.

Метод моментов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике, основанный на предполагаемых свойствах моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.

Пусть — выборка случайной величины X. Предполагается, что соотношения аналогичные условиям на моменты выполнены и для выборки, а именно вместо математического ожидания в условиях на моменты необходимо использовать выборочные средние:

Оценки, получаемые из решения этой системы уравнений (выборочных условий на моменты), называются оценками метода моментов. Название метода связано с тем, что чаще всего в качестве функций выступают функции степенного вида, математические ожидания от которых в теории вероятностей и математической статистике принято называть моментами.

Если моментные функции непрерывны, то оценки метода моментов состоятельны.

46) Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого .

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью . Равенство .

означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал. Эту вероятность называют доверительной вероятностью попадания в доверительный интервал.

Пусть произведено независимых опытов над случайной величиной , математическое ожидание которой неизвестно. Для него получена оценка: ; Требуется построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности , для математического ожидания величины .

При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных величин , и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным. Будем исходить из того, что величина распределена по нормальному закону. Значит МО равно m. Зная , найдём такую величину для которой .