39) Теорема Чебышева

Пусть имеется случайная величина  с математическим ожиданием  и дисперсией . Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина  отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной :

.

ЗБЧ: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значении случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. .

Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении  среднее арифметическое  сходится по вероятности к , т. е.

Доказательство. Величина имеет числовые характеристики ; .

Применим к случайной величине  неравенство Чебышева, полагая :

.

Как бы мало ни было число , можно взять  таким большим, чтобы выполнялось неравенство , откуда .

40) Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов  частота события  сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события  в  опытах через  и запишем теорему Я. Бернулли в виде формулы

,    где,  - сколь угодно малые положительные числа. Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:

 - число появлений события  в первом опыте;

 - число появлений события  во втором опыте, и т. д.

Все эти величины прерывны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида:

где . Математическое ожидание каждой из величин  равно , а ее дисперсия

Частота  представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин :

,

и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства.

41) Центральная предельная теорема.

ЦПТ утверждает, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Формулировка: Пусть с ,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M и дисперсиями D , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма неограниченно растёт при

Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть и математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда

Где — интеграл вероятности.

42) Теорема Муавра — Лапласа 

Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события A равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых A фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла вероятности, то есть

Кроме того,

43) Основные задачи математической статистики. Представление экспериментальных данных.

Основная задача матстатистики состоит в определении неизвестных параметров, от которых зависит закон распределения случайной величины, но ограниченному числу опытов.

Любая оценка, вычисляемая на основе материала, должна представлять собой функцию величин . Экспериментальные данные могут быть представлены в виде гистограммы для непрерывной величины либо полигона частот для дискретной.

44) Статистические оценки числовых характеристик и требования к ним.

Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная величина , закон распределения которой содержит неизвестный параметр . Требуется найти подходящую оценку для параметра  по результатам  независимых опытов, в каждом из которых величина  приняла определенное значение. Обозначим  оценку для параметра . Любая оценка, вычисляемая на основе материала, должна представлять собой функцию величин:  и, следовательно, сама является величиной случайной. Закон распределения  зависит, во-первых, от закона распределения величины  (и, в частности, от самого неизвестного параметра ); во-вторых, от числа опытов . В принципе этот закон распределения может быть найден известными методами теории вероятностей.

Оценка должна обладать тремя свойствами:

А) Состоятельностью .

Б) Несмещенностью .

В) Эффективностью .