23) Законы распределения отдельных с.В., входящих в систему. Условные з.Р. Зависимость с.В.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин входящих в систему. Для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине. Условным законом распределения величины X, входящей в систему (X,Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y.

Теоремой умножения законов распределения: Плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение, т.е. f(x,y) = f(y)f(x|y).

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.

Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от X может быть записано в виде: f(y)f(x|y)= f(y).

24) Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Начальным моментом порядка k, s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения  на .

Начальным моментом порядка k, s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.

Характеристика  называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин , .

Для прерывных случайных величин корреляционный момент выражается формулой а для непрерывных - формулой

Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами (X,Y) в чистом виде переходят от момента K_xy к безразмерной характеристике .

25) Нормальный закон на плоскости

          

Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным» законом на плоскости.

В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой

. 

Этот закон зависит от пяти параметров:  и . Величина  называется условным математическим ожиданием величины y при данном x. Зависимость можно изобразить на плоскости xOy, откладывая условное математическое ожидание  по оси ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии Y на X. Аналогично прямая   есть линия регрессии X на Y. Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости Y от X. При независимых X и Y линии регрессии параллельны координатным осям.

26) Расчет вероятности попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными осям, в эллипс рассеивания и в малую цель для нормального з.р.

Попадание в прямоугольник:

Попадание в эллипс:

Попадание в малую цель эквивалентно попаданию точки в область взрыва и в общем виде считается по формуле

27) Системы n случайных величин.

Плотность распределения такого закона имеет вид:

, где С = K^-1.

28) Функции случайных аргументов. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ аргументов при известном з.р..

Рассмотрим такую задачу: случайная величина  есть функция нескольких случайных величин : .

Зная закон распределения g(y) величины Y, можно легко определить числовые характеристики; они находятся по формулам: .

Однако задача нахождения закона распределения g(y) величины y довольно сложна.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая - функции одного аргумента - и поставим следующую задачу.

Имеется случайная величина X с заданным законом распределения; другая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью: .

Требуется, не находя закона распределения величины Y, определить ее математическое ожидание. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле для дискретной и для непрерывной с.в.

Для системы с.в.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

в случае произвольного числа аргументов, в аналогичных обозначениях: