29. Определение вероятности: аксиоматическое классическое статическое геометрическое.

Вероя́тность  — численная мера возможности наступления некоторого события.

Классическое опр:

Вероятностью   события   называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие  , к числу всех элементарных исходов 

Аксиоматическое опр: Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А   Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .

Статическое опр:

где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.

 

Относительная частота события обладает свойством устойчивости:

limn→∞P(∣ ∣  nm−p∣ ∣  <ε)=1  (свойство устойчивости относительной частоты)

Геометрическое опр:

Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами

где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.

29. Свойства вероятности.

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N  и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

29. Теоремы сложения и умножения вероятностей для совместных и не совместных событий.

Умножения:

  Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

            Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.

Пусть:

·        событие   появилось в    исходах опыта;

·        событие   появилось в    исходах опыта;

·        событие   появилось в    исходах опыта.

Вероятность события   вычислим по классическому определению. Поскольку событие   произошло, то всего возможных в этом случае исходов -  ; при этом  из этих   возможных исходов  благоприятны событию   те исходы, которые составляют событие  , т.е.   исходов:

,

или

.

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай   событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

Сложения:

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .