29. Функциональные ряды. Основные понятия.

Формально записанное выражение

           

где  - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

При различных значениях   из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения  , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуют особо, посредством других признаков сходимости рядов.

29. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а  - постоянные величины. Числа  - коэффициенты членов ряда,  - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

теорема Абеля Если степенной ряд сходится при некотором значении  , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях  .

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении  , то он расходится и при всех значениях  .

29. Определение радиуса и области сходимости степенных рядов.

Интервал (-R,R), где число R  называется интервалом сходимости ряда, а число R – радиусом сходимости этого ряда

радиус сходимости степенного ряда определяют с помощью признака сходимости Даламбера. Предположим, что все коэффициенты ряда отличны от нуля и существует предел   Тогда радиус сходимости находится по формуле  .

Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет теорема абеля.

теорема Абеля Если степенной ряд сходится при некотором значении  , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях  .

29. Ряды тейлора и Маклорена. Разложение функизй на ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a, тогда ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в

некоторой окрестности a.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











29. Случайное событие и основные понятия свзязаные с ним.

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом  . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом  .

частотой появления события A в данной серии испытаний  P*(A)=m/n.

m число наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний

n число испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний 

вероятность число, около которого колеблется наблюдаемая частота события.