5.4.2. Параметры линейного кода
Помехоустойчивое
кодирование сообщений дискретного
источника информации [25, 33] заключается
в том, что поступающие
-символьные
информационные комбинации 
дополняются 
избыточными
символами до
-символьных
кодовых комбинаций
.
В процессе передачи последних по каналу
связи под действием помех отдельные
символы кодовой комбинации искажаются
и трансформируются на приемной стороне
в другие символы из используемого для
передачи алфавита.
Наиболее употребимы двоичные линейные коды. Такой код определяется как множество из кодовых -символьных комбинаций, образующих линейное подпространство размерности .
Линейные
коды обозначаются 
.
Здесь
–
длина кода, число символов в кодовых
словах или размерность пространства
кодовых комбинаций;
–
число информационных символов или
размерность кода;
–
количество проверочных или избыточных
символов. Числа
и
определяют
относительную скорость передачи
информации кодом, равную 
двоичных
единиц на 1 символ кодовой комбинации.
Третий
параметр линейного кода – кодовое
расстояние 
характеризует
корректирующую способность помехоустойчивого
кода и вводится как минимальное из
расстояний Хэмминга (см. 5.4.1) при попарном
сравнении кодовых слов. С кодовым
расстоянием связаны кратности
обнаруживаемых 
и
исправляемых 
ошибок,
произошедших в пределах одной кодовой
комбинации:
|
|
или 
.
Число
указывает,
что код способен обнаруживать все
конфигурации вектора ошибки, вес
которых 
.
Число
указывает,
что код способен исправлять все
конфигурации вектора ошибки, вес
которых 
.
При
совмещении процедур обнаружения и
исправления ошибок, причем 
соотношение
между
,
и
имеет
вид:
|
|
.При фиксированных и большей помехоустойчивостью обладают коды с большим кодовым расстоянием. Линейные коды достаточно хорошо изучены и сведены в таблицы [30, 33].
5.4.4. Циклические коды и корни полиномов
Поскольку
многочлен 
каждого
кодового слова делится на порождающий
полином
,
то корни
,
при подстановке в
обращающие
его в 0, являются также и корнями
многочлена
.
Число таких корней равно степени
порождающего полинома
.
Следовательно,
многочлен
с
коэффициентами из поля
будет
кодовым словом в том и только в том
случае, если элементы 
из
расширения
являются
его корнями.
Установим связь элементов проверочной матрицы с корнями порождающего полинома , а также обсудим, как находить сами корни и, наоборот, по заданным корням определять порождающий полином.
Заметим прежде, что до сих пор использовалась запись полиномов с расположенной слева старшей степенью переменной . Такая форма записи была удобна для выполнения простейших алгебраических действий над полиномами: сложения, умножения, деления полиномов. Однако при предстоящем рассмотрении алгебраических процедур декодирования предпочтительна обратная запись многочленов, начиная с нулевой степени переменной.
Условие 
в
развернутом виде означает
|
(5.18) |
, 
.Такая запись эквивалентна матричной
|
(5.19) |
,Где
|
|
.Выражение (5.19) является определением проверочной матрицы [3]. Строки содержат степени корней порождающего полинома , а следовательно, и корней кодовых многочленов. Каждый элемент есть -символьный столбец -ичного представления корня – элемента поля .
В
общем случае матрица
может
содержать ряд строк, функционально
связанных между собой и, следовательно,
выражаемых друг через друга. Таковыми
являются строки, соответствующие
множеству 
корней
одного циклотомического класса
показателей (см. 5.3.5). Функциональная
зависимость подобных строк вытекает
из свойства многочленов над конечным
полем
: 
.
Из каждого такого множества корней следует выбрать по одному (любому), и соответствующие им строки оставить в матрице, а остальные удалить как функционально зависимые от удерживаемых.
Дальнейшее обсуждение проведем для многочленов над полем . Рассмотрим несколько частных случаев.