8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
Определение 1.
Говорят, что
функция
,
если
.
При этом
называется весовой
функцией и
удовлетворяет условиям:
на
и
.
Определение 2.
Функции
и
называются ортогональными
на
с весом
,
если их скалярное произведение
.
Замечание.
Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца
для интегралов следует, что скалярное
произведение
существует
Определим на отрезке [-1,1] следующие многочлены Чебышева:
|
(24) |
Найдем два первых
многочлена Чебышева по (24):
Для больших n
неудобно работать с формулой (24). Выведем
более удобную рекуррентную
формулу.
Полагая
и подставляя в формулу тригонометрии:
,
получаем:
(25)
Формула (25) начинает
работать, начиная со значений
.
Последовательно получаем:
Простейшие свойства многочленов Чебышева.
1.
Многочлены Чебышева ортогональны на
отрезке
с весом
.
Рассмотрим интеграл
в силу ортогональности
системы функций
на отрезке
.
Вычислим квадрат нормы:
.
2. При четных (нечетных) n многочлен Чебышева Tn(x) содержит только четные (нечетные) степени х, т.е. является четной (нечетной) функцией.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).
3. Коэффициент при старшей степени xn многочлена Tn(x) равен 2n-1.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).
4.
Многочлен Tn(x)
имеет на отрезке
ровно n
различных действительных корней,
определяемых формулой:
Действительно:
5.
и достигается в точках экстремума:
.
Из определения
(1) следует, что
для любого
.
Очевидно, что
.
6. Многочлен
среди всех многочленов
n-ой
степени с коэффициентом при старшей
степени an=1
обладает тем свойством, что
|
(26) |
.Доказывается от противного: пусть это не так и существует многочлен
такой, что выполняется противоположное:
|
(27) |
.
Разность (
)
– многочлен (n-1)-ой
степени, причем в силу (4)
.
Обозначим
и заметим что, в силу (27)
.
Продолжим рассмотрение разности:
Таким образом, при
переходе от точки
к
разность (
)
меняет знак.
Всего при переходе от точки
к
произойдет ровно n
смен знака. Отсюда следует, что разность
имеет на отрезке
ровно n
действительных корней (нулей), что
противоречит теореме Гаусса, т.к. это
многочлен (n-1)-ой
степени.
Замечание.
Благодаря
свойству 6 многочлен Чебышева
называется многочленом,
наименее отклоняющимся от нуля.
9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
В следующей теореме решается следующая задача: как следует выбрать узлы интерполяции, чтобы минимизировать погрешность на всем отрезке.
Теорема 1.3. Пусть
,
тогда наименьшая максимальная абсолютная
погрешность интерполяции полиномом
Лагранжа
на отрезке
достигается при выборе в качестве узлов
интерполяции нулей функции
Обозначим
- корень многочлена
.
Согласно свойству 4
|
(28) |
Пусть
– некоторая система узлов на
.
Запишем формулу максимальной абсолютной
погрешности интерполяции по Лагранжу
(формула (10) из п.п.1.4):
,
где
,
Как следует из
свойства 6:
.
Выберем в качестве
узлов точки
,
определяемые формулой (28). Тогда
.
Отметим, что
многочлен
имеет одну и ту же степень n+1,
что и
,
один и тот же коэффициент при старшей
степени
и одни и те же нули на
.
Отсюда немедленно
следует, что
,
и соответствующая оценка погрешности:
.
Данная оценка является наилучшей среди всех возможных способов выбора узлов интерполяции.
Замечание. Для
оптимальной интерполяции на произвольном
конечном отрезке [a;b]
предварительно необходимо сделать
линейное преобразование:
и преобразовать
формулу для нулей функции
к следующему виду:
,
Пример
15. Вывести
следующую формулу для максимальной
абсолютной погрешности интерполяции
по Лагранжу на отрезке
:
