
- •2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.
- •3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.
- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •4. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определения и свойства. Основные классы функций:
- •5. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.
- •6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
- •1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
- •7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
- •8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
- •9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
- •10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
- •15. Теоретич. Оценки погрешности обобщённых формул трапеции и Симпсона.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы, общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
- •28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)
- •30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.
- •44. Каноническая разностная схема для линейного оду второго порядка, имеющая порядок аппроксимации .
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
Будем искать
решение задачи (6) в прямоугольнике
.
Введем сетку на
оси
,
,
.
Простейший
итерационный процесс решения задачи
(6) получается, если аппроксимировать
производную
на сетке
правой конечной разностью. Обозначая
приближенное решение на сетке
,
получим
или
|
(10) (10)
|
Итерационная процедура (10) представляет собой метод Эйлера (или метод ломаных). Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.1
Рис. 4.1. Графическая иллюстрация метода Эйлера (метод ломаных). Жирная кривая – ломаная Эйлера;
U(x) – интегральная кривая, проходящая через начальную точку (1, U(1));
шаг сетки h = 1. eps(3) – погрешность в точке x2 = 3.
Начав движение из
точки
на точном решении
,
итерационное решение образует ломаную
линию, каждый отрезок которой представляет
собой касательную к кривой
,
проходящую через данную точку.
Действительно,
запишем уравнение касательной к u(x)
в точке
и положим
:
.
Далее, аналогичным образом, строим
касательную в точке
и положим
и т.д. Здесь
–
та интегральная кривая, которая проходит
через точку (x1,y1).
Из рисунка видно, что ошибка
растет с номером k. Выясним, каков
порядок этой ошибки в сеточной норме
.
Будем считать, что ошибка округления
имеет порядок не меньший, чем
.
Тогда из (10) следует:
|
(11) |
Разложим точное
решение
в точке
с такой же точностью:
|
(12) |
Вычтем(12) из (11)
|
(13) |
где
.
В силу условий теоремы существования
и единственности частные производные
ограничены в прямоугольнике
:
.
Обозначим
и оценим (13) по модулю
по
условию.
|
|
|
Обозначим
|
(10) (14) |
40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
Метод
предиктор-корректор.
Проинтегрируем
обе части уравнения (6) по отрезку
на равномерной сетке
:
.
Левую часть полученного уравнения вычисляем по формуле Лейбница:
.
Для вычисления правой части используем квадратурную формулу трапеций:
где
погрешность,
определяемая формулой
.
Если отбросить остаточный член, то получаем неявную итерационную схему.
|
(13) (16) |
Аналогично тому,
как оценивается ошибка в методе Эйлера,
можно показать, что результирующая
ошибка метода (16) имеет порядок
(теряется один порядок при приближении
к концу отрезка).
Т.к. схема (16)
неявная, то ее следует решать методом
итераций для фиксированных точек
и
.
Более простой путь заключается в
следующем. Используем в (16) только
2 последовательных этапа итераций:
|
(14) (17) |
.
Полученная схема (17) имеет также порядок точности и носит название «метод предиктор-корректор» (метод Хойна - в иностранной литературе).
Поясним геометрический смысл названия.
На первом этапе
предсказывается
значение
по методу Эйлера. На втором этапе это
значение корректируется
путем усреднения угловых коэффициентов
в точках
и
.
За счет коррекции точность метода и
повышается на порядок
по сравнению с методом Эйлера.
Метод средней
точки.
Найдем
сначала значение
в промежуточной точке
отрезка
по простому методу Эйлера:
- обозначим так найденное значение
на половинном шаге от точки
.
Затем в полученной точке
вычислим угловой коэффициент касательной
и в этом направлении совершим движение
из точки
в точку
:
.
Полученный метод имеет 2-ой порядок точности и называется модифицированным методом Эйлера с коррекцией углового коэффициента на половинном шаге или более коротко ─ метод средней точки.
Существует общий
теоретический подход к построению явных
итерационных методов решения задачи
Коши повышенного порядка точности
.
Это так называемые Методы
Рунге-Кутты
-го
порядка, удовлетворяющие следующим
условиям.
1. Это одношаговые
методы, т.е. при переходе из точки
в точку
используется лишь информация о предыдущей
точке
.
2. Процедура
согласуется с рядом Тейлора вплоть до
членов порядка
,
где
- порядок метода.
3. Метод не использует
производных от
,
а требует только вычисления функции в
различных точках сетки, причем число
вычислений функции - минимально возможное
для данного порядка.
Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутты, имеющий наименьший первый порядок точности, а методы средней точки и предиктор-клрректор - методы Рунге-Кутты второго порядка.