33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.

В этом методе приведение системы (23) к виду (27) осуществляется с помощью представления матрицы А в виде:

,

(34)

где

D - диагональная матрица, C_L- строго нижняя (lower) треугольная матрица,

C_U- строго верхняя (upper) треугольная матрица.

Подставляя представление (34) в систему (23) Ax=b, получаем:

Dx=(C_L+C_U)x+b,

откуда следует

,

где матрица перехода имеет вид:

,

, – матрица расщепления.

Получаемый при этом итерационный метод называется методом Якоби. Необходимое условие сходимости: (иначе не существует ).

Достаточные условия сходимости устанавливаются в следующей теореме:

Теорема 3.10. (О сходимости метода Якоби). Пусть матрица - вещественная и удовлетворяет условиям:

.
.	(35)

(Условия (35) называются условиями строгого диагонального преобладания). Тогда метод Якоби сходится.

Условие (35) можно записать в виде: ,

что эквивалентно условию . (36)

Поскольку то матрица перехода приобретает вид:

,

.

Воспользуемся строчной нормой матрицы . Согласно (36):

,

и, таким образом, выполняется условие сжатости для данной нормы. Следовательно, метод Якоби сходится в строчной норме. Но поскольку. в все согласованные матричные нормы эквивалентны, то метод Якоби сходится.

Замечание. Достаточным условием сходимости метода Якоби является также спектральное условие: .

34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.

Метод Якоби может быть оптимизирован следующим образом. Как и в методе Якоби воспользуемся разложением матрицы

,

и запишем систему в виде:

, .

(11) (37)

Обозначим

и подставим в (37):

.

(12) (38)

Нетрудно убедиться, что при покомпонентной записи уравнения (38):

вектор содержит только первые (i-1) компоненты вектора х, а вектор - содержит компоненты, начиная с (x_i+1), т.е.

(13) (39)

При реализации метода последовательных приближений для решения системы (39) естественно использовать в правой части уже найденные значения компонент , полученные в текущей итерации. Алгоритм Гаусса-Зейделя строится следующим образом:

.

(14) (40)

Условия сходимости метода Гаусса-Зейделя (40) те же, что и у метода Якоби, но процедура сходится несколько быстрее.

35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.

Дальнейшее ускорение сходимости метода Зейделя может быть достигнуто с помощью введения ускоряющего множителя подобно тому, как это сделано в методе Ричардсона. Получающийся при этом алгоритм носит название метод последовательной верхней релаксации и реализуется в два этапа:

(15) (41)

где - ускоряющий множитель (параметр релаксации).

Доказано (см. например, [1]), что, если матрица симметрическая и положительно определенная, и , то итерационная процедура (41) сходится, причем существует такое оптимальное значение параметра , при котором достигается максимальное ускорение.