27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.

Пусть дана система ЛАУ с невырожденной матрицей А :

Ax=b,

(23)

и пусть вектор правой части b вычисляется с ошибкой .

Заменим правую часть “возмущенным” значением , тогда решение приобретет ошибку и система примет вид:

.

(24)

Оценим относительную ошибку решения в зависимости от относительной величины возмущения правой части .

Из (23) и (24) следует: или .

Из совокупности равенств

{согласованность матриц} .

(25)

С другой стороны, из (23) следует

.

Последнее неравенство подставим в (25)

.

(26)

Определение 6. Число называется числом обусловленности матрицы А.

Таким образом, из (26) следует, что относительная ошибка решения пропорциональна числу обусловленности матрицы А:

.

Если (система уравнений плохо обусловлена), то небольшие погрешности вычисления правой части (небольшие “возмущения”) могут приводить к весьма большим отклонениям от точного решения.

Заметим, что это явление не связано с явлением неустойчивости (т.е. накоплением ошибок при вычислениях), а является следствием специфического свойства матрицы А и наблюдается даже в том случае, когда все вычисления делаются абсолютно точно, а возмущение правой части вызвано неточностями начальных данных при формировании системы.

Примеры плохо обусловленных систем рекомендуется рассмотреть на семинаре и лабораторной работе.

28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.

Рассмотрим вначале систему ЛАУ специального вида

x=Tx+d, , , T - матрица .

(27)

Назовем эту систему системой второго рода, в отличие от вида системы (23) из параграфа 3.4.3. – системы первого рода.

Систему второго рода (27) естественно пытаться решать итерационным методом

(28)

В этом методе используются лишь операции сложения и умножения, и не используется операция обращения матрицы – наиболее опасная для накопления ошибок.

Теорема 3.6. Для любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство .

Пусть - собственный вектор матрицы , - соответствующее собственное значение. Тогда справедлива следующая цепочка равенств и неравенств:

, в силу согласованности норм. Отсюда получаем . В силу произвольности собственного значения , получаем требуемый результат .

Теорема 3.7. (Достаточное условие сходимости). Пусть система (1) невырождена, т.е. имеет единственное решение , матрица - вещественная, причем (в какой-либо матричной форме), тогда итерационная процедура (28) сходится к решению при со скоростью геометрической прогрессии.

.Поскольку - решение системы (27), то . Найдем разность .

Обозначим - вектор ошибки k-ого шага. Тогда получаем итерационную процедуру

(29)

Оператор - линейный и отображает в себя. Согласно основному принципу сжатых отображений (теорема 3.1, замечание 2) для банахова пространства): если оператор T удовлетворяет условию Липшица с константой

то оператор T в уравнении (29) – сжимающий и выполняется принцип сжатых отображений.

В нашем случае имеем: .

Т.к. по условию оператор - сжимающий и, следовательно, существует единственная неподвижная точка уравнения (30)

Обозначим эту точку . Таким образом выполняютя уравнения: и, кроме того, по определентю . Отсюда , Откуда получаем: . Из единственности решения системы (27) получаем: , т.е. и итерационная процедура (28) сходится к единственной неподвижной точке со скоростью геометрической прогрессии .