1. Структура погрешности в численном анализе.

Рассмотрим основные источники погрешностей, возникающих в численном анализе.

1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

2. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными в результате неточных измерений или ввода в компьютер таких констант как π, е и др.

3. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

4. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми. Погрешность метода обычно оценивается в норме того метрического пространства, в котором действуют операторы преобразованной задачи. Чаще всего алгоритм решения устроен как итерационный процесс. Поэтому возникает проблема сходимости этого процесса к некоторому решению – приближенному решению исходной задачи и вопрос о близости полученного решения к точному решению исходной задачи.

Рассмотрим подробнее пункт 4 – ошибки округления.

Ошибки округления связаны с устройством арифметического процессора на ЭВМ, имеющего конечную разрядность.

2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.

Ошибки округления связаны с устройством арифметического процессора на ЭВМ, имеющего конечную разрядность. Чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим две основные формы записи чисел.

1) Запись числа в позиционной системе счисления:

, где a – основание позиционной системы, a {2,8,16,10,…}, .

Определение 1. Значащими называются все цифры числа X, записанного в позиционной системе, начиная с первой слева отличной от нуля.

2) Нормализованная форма записи числа (запись числа в арифметическом процессоре «с плавающей запятой»):

, где f – мантисса числа X, удовлетворяющая условию , а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, , ,

- цифра в k-ом разряде мантиссы (дробного числа), , k=2,3,… , 0< f₁<a, t – число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Определение 4. Значащая цифра α_j числа X, записанного в позиционной системе, называется верной в широком смысле, если выполняется условие Δ(X^*) a ^j и верной в узком смысле, если выполняется условие Δ(X^*) 0,5*a ^j.

В дальнейшем курсе будет использоваться главным образом понятие верной цифры в широком смысле.

Если вводимое в ЭВМ число X (или полученное на каком либо этапе вычислительного процесса) имеет число значащих цифр мантиссы, превышающее значение t, то происходит так называемое округление числа. В компьютерах обычно реализовано симметричное округление по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньшая пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. Кратко это правило формулируют так: округление до ближайшего целого.

3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.

Ошибка округления, будучи внесенной на каком либо этапе вычислительного процесса, начинает распространяться во всех последующих операциях. Таким образом, в конечный результат будет внесена результирующая ошибка округления.

Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .

Максимально возможное значение , т.е. число , удовлетворяющее неравенству , называется максимальной или предельной абсолютной погрешностью (ошибкой).

Определение 3. Величина, равная ,

называется относительной ошибкой представления числа X числом .

Если , то число называется максимальной предельной относительной ошибкой.

Распространение ошибок округления в арифметических операциях.

1) Операции сложения и вычитания.

Пусть , . Тогда , где . Поскольку , то ,

т.е. при сложении чисел предельные абсолютные ошибки складываются.

Не трудно убедиться, что такое же правило справедливо и для разности.

2) Операция умножения.

Пусть , где ,

тогда ,

Следовательно, ,

т .е. .

Если последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, то им можно пренебречь. В этом случае получаем более простое правило: при умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.

3) Операция деления. Пусть , , .

Пример 4. Показать, что справедливо следующее правило:

.