Пусть f(x)=e^x (P_n(x)cosx+Q_m(x)sinx), где P_n(x) – многочлен n-ой степени от х, Q_m(x) –многочлен m-ой степени от х,  – некоторое число.

Возможны два случая:

• (+i) не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение имеет вид: у_чн= e^x(R_p(x)cosx+K_p(x)sinx), где R_p(x), K_p(x)– многочлены степени р от х, причем p=max(n,m);

• (+i) является корнем характеристического уравнения кратности s, тогда частное решение имеет вид: у_чн= e^xx^s(R_p(x)cosx+K_p(x)sinx), где R_p(x), K_p(x)– многочлены степени р от х, причем p=max(n,m).

Пример.

Решить НЛДУ второго порядка: y-3y+2y=(x²+х)е^3х.

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y-3y+2y=0. составим и решим характеристическое уравнение: к²-3к+2=0, к₁=2, к₂=1. Тогда у_оо=С₁е^2х+С₂е^х.

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=(x²+х)е^3х является функцией специального вида f(x)=e^xP_n(x), при P_n(x)= x²+х – многочлен второй степени от х, =3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=(Ах²+Вx+С)e^3x. Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В, С.

у_чн=(2Ах+В)e^3x+3(Ах²+Вx+С)e^3x= e^3x(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С);

у_чн=(6Ах+2А+3В)e^3x+3(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С)e^3x= e^3x(9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С).

Подставим полученные значения в уравнение:

e^3x(9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С)-3e^3x(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С)+2(Ах²+Вx+С)e^3x=(x²+х)е^3х;

9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С-9Ах²-(6А+9В)х-3В-9С+2Ах²+2Вx+2С= x²+х;

2Ах²+(6А+2В)х+2А+3В+2С=x²+х;

так как многочлены, стоящие в левой и правой частях уравнения, равны при любых значениях переменной, то коэффициенты при соответствующих степенях х также должны быть равны; тогда

таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: .

Общее решение НЛДУ имеет вид:

Пример. Решить НЛДУ второго порядка: y+9y=6cos3x.

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y+9y=0. Составим и решим характеристическое уравнение: к²+9=0, к₁=3i, к₂=-3i. Тогда у_оо=С₁cos3x+С₂ sin3x.

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=6cos3x является функцией специального вида f(x)=e^x (P_n(x)cosx+Q_m(x)sinx), при P_n(x)=6, Q_m(x)=0 – многочлены нулевой степени от х, =0, =3, число (+i) является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=e^0xx¹(Аcos3x+Вsin3x), или у_чн=x(Аcos3x+Вsin3x). Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В.

у_чн=Аcos3x+Вsin3x+ x(-3Аsin3x+3Вcos3x);

у_чн=-3Аsin3x+3Вcos3x-3Аsin3x+3Вcos3x+x(-9Аcos3x-9Вsin3x)=

=(-6A-9Bx)sin3x+(-9Ax+6B)cos3x.

Подставим полученные значения в уравнение:

(-6A-9Bx)sin3x+(-9Ax+6B)cos3x+9x(Аcos3x+Вsin3x)=6cos3x;

(-6A-9Bx+9Bx)sin3x+(-9Ax+6B+9Ax)cos3x=6cos3x;

-6Asin3x+6Bcos3x=6cos3x;

Таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: у_чн=xsin3x.

Общее решение НЛДУ имеет вид: у_он=С₁cos3x+С₂ sin3x+ xsin3x.

Замечание 1. у каждого из рассмотренных методов есть свои преимущества и свои недостатки.

1. Метод вариации не зависит от вида правой части НЛДУ, однако этот метод достаточно трудоемкий

2. Преимуществом второго метода является простота, однако этот метод применим к ограниченному числу ДУ со специальной правой частью.

Замечание 2. Рассмотренные выше методы решения НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами применяются и при решении НЛДУ высших порядков.

Пример. Решить НЛДУ четвертого порядка: y^IV-3y=9x².

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y^IV-3y=0. Составим и решим характеристическое уравнение: к⁴-3к²=0, к₁=k₂=0, .

Тогда , или .

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=9x² является функцией специального вида f(x)=e^xP_n(x), при P_n(x)=9x² – многочлен второй степени от х, =0 является корнем характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=(Ах²+Вx+С)х², или у_чн=Ах⁴+Вx³+Сх². Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В, С.

у_чн=4Ах³+3Вx²+2Сх;

у_чн=12Ах²+6Вx+2С;

у_чн=24Ах+6В;

y^IV_чн=24А.

Подставим полученные значения в уравнение:

24А-3(12Ах²+6Вx+2С)=9x²;

-36Ах²-18Вx+24А-6С=9x²;

так как многочлены, стоящие в левой и правой частях уравнения, равны при любых значениях переменной, то коэффициенты при соответствующих степенях х также должны быть равны; тогда

таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: у_чн=Ах⁴+Вx³+Сх² .

Общее решение НЛДУ имеет вид:

Пример. Решить НЛДУ третьего порядка: .

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ . Составим и решим характеристическое уравнение: к³-2к²-к+2=0, к²(к-2)-(к-2)=0, (к²-1)(к-2)=0, к₁=-1, к₂=1, к₃=2. .

Функция не является функцией специального вида. Поэтому применим метод Лагранжа. Общее решение НЛДУ будем искать в виде .

Примем , . Тогда

.

Подставим полученные значения в ДУ:

То есть . Получим систему относительно неизвестных С₁(х), С₂(х), С₃(х):

решив эту систему, найдем Проинтегрировав каждое из полученных равенств, найдем значения функций С₁(х), С₂(х), С₃(х) и запишем общее решение НЛДУ.

II. Примеры решения заданий практической части.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).

а)

Решение.

1. Данное дифференциальное уравнение относится к уравнениям I типа, допускающих понижение порядка.

разделим переменные: ; ; проинтегрируем обе части: ; . Повторим проделанные действия еще раз:

; ; ; .

2. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

; ; С₁=0;

; ; С₂=0.

Таким образом, частным решением является функция .

Ответ: .

б) .

Решение.

1. Данное уравнение относится к III типу дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Понизим порядок уравнения с помощью замены , тогда .

, , , , , , ;

Так как , то , , , , , .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения.

2. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

Так как при х=1 у=0, у=1, получаем:

, , ,

, .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид: .

Ответ: .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

Решение.

Данное уравнение относится ко II типу дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Сделаем подстановку , тогда . Тогда

; разделим переменные: , ; проинтегрируем обе части равенства: , , выражая из последнего равенства я, получаем: .

Так как , получаем , , ,

Таким образом, общим решением уравнения является функция .

Ответ: .

3. Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(X).

, если а) , б) .

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=3 или к=-3.

а) данная функция соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^xP_n(x), где =3, n=1 (степень многочлена 5-х).

=3 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

б) или . Данная функция соответствует второму специальному виду правой части f(x)=e^x (P_n(x)cosx+Q_m(x)sinx), где =0, =2, n=0, m=1.

Так как +i=0+2i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде или .

Ответ: а) ; б) .

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=-1 или к=4.

Тогда .

2. Правая часть исходного уравнения имеет вид , что соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^xP_n(x), где =-1, n=1 (степень многочлена 6х).

=-1 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Найдем неопределенные коэффициенты А и В.

,

или ;

; ; .

Подставим найденные выражения для у, у, у в исходное уравнение: , разделим обе части уравнения на е^-х: ; перегруппируем левую часть уравнения по степеням х: ,

,

составим систему уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части:

Таким образом, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .

3. Общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Ответ: .

5. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (решить задачу Коши).

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , или .

Тогда .

2. Правая часть исходного уравнения имеет вид или , что соответствует второму специальному виду правой части f(x)=e^x (P_n(x)cosx+Q_m(x)sinx), где =0, =1, n=0, m=0.

Так как +i=0+i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде или .

Найдем неопределенные коэффициенты А и В.

,

,

Подставим найденные выражения для у, у, у в исходное уравнение:

,

,

;

составим систему уравнений, приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой части:

Таким образом, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .

3. Общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: .

4. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

,

,

, ,

,

,

, , .

Таким образом, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условием, является функция .

Ответ: .

6. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа).

.

Решение.

1. Найдем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения .

, к=1 или к=-1. Тогда общее решение имеет вид: .

2. Найдем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, считая С₁=С₁(х) и С₂=С₂(х) некоторыми пока неизвестными функциями.

С₁(х) и С₂(х) определим из системы уравнений:

Для данного уравнения эта система имеет вид:

, , , , …, ;

, , , , , .

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: .

Ответ: .

III. Задания для практической части.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).

0. 1.1. а) у=sinx, y(0)=1, y(0)=0, y(0)=0; б) ;

в) ; г) .

0. 1.2. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.3. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.4. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.5. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.6. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.7. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.8. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.9. а) ; б) ;

в) ; г) .

0. 1.10. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

2.1. а) ; б) ; 2.2. а) ; б) ;

2.3. а) ; б) ; 2.4. а) ; б) ;

2.5. а) ; б) ; 2.6. а) ; б) ;

2.7. а) ; б) ; 2.8. а) ; б) ;

2.9. а) ; б) ; 2.10. а) ; б) .

3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

3.1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.4. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

3.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

4. Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x).

4.1. , а) ; б) ;

4.2. , а) ; б) ;

4.3. , а) ; б) ;

4.4. , а) ; б) ;

4.5. , а) ; б) ;

4.6. , а) ; б) ;

4.7. , а) ; б) ;

4.8. , а) ; б) ;

4.9. , а) ; б) ;

4.10. , а) ; б) .

5. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

5.1. а) ; б) ;

5.2. а) ; б) ;

5.3. а) ; б) ;

5.4. а) ; б) ;

5.5. а) ; б) ;

5.6. а) ; б) ;

5.7. а) ; б) ;

5.8. а) ; б) ;

5.9. а) ; б) ;

5.10. а) ; б) .

6. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (решить задачу Коши).

6.1. а) ;

б) ;

6.2. а) ;

б) ;

6.3. а) ;

б) ;

6.4. а) ;

б) ;

6.5. а) ;

б) ;

6.6. а) ;

б) ;

6.7. а) ;

б) ;

6.8. а) ;

б) ;

6.9. а) ;

б) ;

6.10. а) ;

б) .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа).

7.1. а) ; б) ;

7.2. а) ; б) ;

7.3. а) ; б) ;

7.4. а) ; б) ;

7.5. а) ; б) ;

7.6. а) ; б) ;

7.7. а) ; б) ;

7.8. а) ; б) ;

7.9. а) ; б) ;

7.10. а) ; б) .

18