Лабораторная работа №14

Дифференциальные уравнения высших порядков.

I. Краткие теоретические сведения.

1.1. Основные понятия.

Определение. Если порядок дифференциального уравнения выше первого, то такие дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями высших порядков. То есть F(x,y,y,y,…,y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0. (1)

Причем, в это уравнение производные порядка ниже чем n могут не входить, а вхождение y⁽ⁿ⁾ обязательно.

Если уравнение (1) разрешить относительно старшей производной, то получим уравнение вида y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y,y,…,y^(n-1)) (2)

Каждый раз при решении ДУ первого порядка мы получали произвольную постоянную С, которая возникала в процессе интегрирования. При решении ДУ n–го порядка (n>1), очевидно, придется интегрировать n раз. И каждый раз в результате интегрирования будем получать новую постоянную С_i. Поэтому решение ДУ (2) будет иметь вид: у=(х,С₁,С₂,…,С_n) (3)

Для нахождения решения задачи Коши в случае ДУ n–го порядка одного начального условия будет недостаточно, так как в этом случае нельзя будет найти n неизвестных единственным образом. Для этого начальных условий должно быть n.

Определение. Решением задачи Коши называют решение следующей задачи: найти решение ДУ (1), удовлетворяющее начальным условиям:

(4)

Определение. Функция у=(х,С₁,С₂,…,С_n) называется общим решением ДУ (1), если:

1. ( С₁,С₂,…,С_n) (х,С₁,С₂,…,С_n) является решением задачи ДУ (1).

2. ( )Г (некоторая область, в которой определена f)  (С₁,С₂,…,С_n) – набор произвольных постоянных, такой что

(х₀,С₁,С₂,…,С_n)=у₀

(х₀,С₁,С₂,…,С_n)=у₀

(х₀,С₁,С₂,…,С_n)= у₀

----------------------------

 ^(n-1)( х₀,С₁,С₂,…,С_n)=y^(n-1)₀

Теорема. (о решении задачи Коши)

Пусть функция f(x,y,y,y,…,y^(n-1)) определена и непрерывна по всем своим переменным в некоторой области Г. В этой области непрерывны функции по всем своим переменным. Тогда в этой области существует единственное решение задачи Коши (4).

1.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

1.2.1. Уравнение вида у⁽ⁿ⁾=f(x).

Решим уравнение у⁽ⁿ⁾=f(x).

; ; ;

; ;…; .

Пример. .

Проинтегрируем последовательно четыре раза обе части уравнения.

; ;

; ; ; ; .

1.2.2. Уравнение вида y(n)=f(x,y(к),y(к+1),…,y(n-1)).

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾=f(x,y^(к),y^(к+1),…,y^(n-1)) (5)

Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену z=y^(k). Тогда z=y^(k+1), z=y^(k+2),…,

z^(n-(k+1))=y^(n-1), z^(n-k)=y⁽ⁿ⁾. Тогда уравнение (5) примет вид z^(n-k)=f(x,z,z,z,…,z^(n-(k+1))) (6)

Решением этого уравнения, если таковое существует, является функция

z=( х,С₁,С₂,…,С_n-k) (7)

То есть y^(k) =( х,С₁,С₂,…,С_n-k) (8)

Решив уравнение (8) к-раз последовательно проинтегрировав обе части, получим уравнение у=Ф(х,С₁,С₂,…,С_n).

1.2.3. Уравнение вида y(n)=f(y,y,y,…,y(n-1)).

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾=f(y,y,y,…,y^(n-1)) (9)

Особенностью этого уравнения является то, что в его правую часть не входит х. Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену у=р, Тогда у=f(y,y) (10)

Будем считать, что р=р(у) – некоторая функция от у, а у в свою очередь, есть функция от х. Тогда у=р(у(х)). Найдем у. . Полученный результат подставим в (10): – полученное уравнение является ДУ первого порядка с двумя переменными р и у. Решая это уравнение, получим р=(у,С₁). Так как р=у, получим у=(у,С₁) – уравнение с разделяющимися переменными.

; – найдем решение, проинтегрировав обе части.

Пример. Решить задачу Коши: ху-у=х²+1, у(-1)=0, у(-1)=1, у(-1)=0.

Уравнение не содержит у и у. Поэтому можем сделать замену z= у, тогда z= у. подставив в исходное уравнение, получаем: хz-z=х²+1. Разделив обе части на х, получим линейное ДУ первого порядка , решать которое будем методом произведения.

Пусть z=uv, подставим в уравнение: ; . v найдем из условия . ; ; ; ; ; v=x.

Тогда ; ; ; ; ; .

Тогда z= uv=x²+C₁x-1. то есть у =x²+C₁x-1. Дважды проинтегрируем полученную функцию: ; .

Найдем решение задачи Коши:

; ;

у (-1)=1-C₁-1=-С₁=0; С₁=0.

Частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным условиям, имеет вид: .

Пример. Решить задачу Коши: у³уу+1=0, у(1)=1, .

Данное ДУ не содержит х, поэтому понизим степень уравнения путем замены у=р(у). Тогда у=рр. Подставим в уравнение: у³ррр +1=0, у³р²р +1=0; ; ; ; ; ; ; ; . То есть . ; ; ; . Так как у(1)=1, получаем , то . Таким образом, частное решение ДУ, соответствующее начальным условиям, имеет вид: .