1.3.4. Решение олду более высоких порядков.

Пусть необходимо решить ОЛДУ n-го порядка y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+ a_n-2y^(n-2)+…+a₁y+a₀y=0. (1)

Характеристическим уравнением данного ОЛДУ будем называть уравнение вида:

kⁿ+a_n-1k^n-1+ a_n-2k^n-2+…+a₁k+a₀=0 (2)

Уравнение (2) является уравнением n-ой степени, поэтому имеет ровно n корней. Возможны следующие случаи:

• к – действительный корень кратности s. Тогда этому корню будут соответствовать s решений: . (*)

• число +i является корнем характеристического уравнения кратности m, тогда число -i так же является корнем характеристического уравнения кратности m. Таким образом, этим 2m корням будут соответствовать 2m решений:

(**)

ОЛДУ (1) будет иметь общее решение: , где C_i – некоторое число, y_i – решение из (*) или (**).

Пример. y^v-2y^IV+ 2y-4y+y-2y=0.

Составим и решим характеристическое уравнение: к⁵-2к⁴+2к³-4к²+к-2=0.

к⁴(к-2)+2к²(к-2)+(к-2)=0,

(к-2)(к⁴+2к²+1)=0,

(к-2)(к²+1)²=0,

к₁=2, к₂=к₃=i, k₄=k₅=-i.

.

1.3.5. Решение нлду с постоянными коэффициентами.

I. Метод вариации.

Рассмотрим уравнение y+ay+by=f(x). Пусть у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР уравнения y+ay+by=0. Тогда – общее решение уравнения y+ay+by=0.

Метод вариации (Лагранжа) заключается в том, что решение НЛДУ y+ay+by=f(x) в виде (**), где С₁(х) и С₂(х) – некоторые пока неизвестные функции.

Потребуем, чтобы (*)

Найдем у_он и у_он и подставим их в уравнение, чтобы найти неизвестные функции С₁(х) и С₂(х).

таким образом, чтобы функция (**) была решением уравнения y+ay+by=f(x), должны выполняться следующие условия:

(***)

Система (***) является системой линейных уравнений относительно неизвестных С₁(х) и С₂(х). Так как функции у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР, то они являются линейно независимыми, а следовательно определитель системы (определитель Вронского для данных функций) отличен от 0. Тогда системна (***) имеет единственное решения, найдя которое и проинтегрировав, найдем функции С₁(х) и С₂(х).

Пример. Решить ДУ .

Характеристическое уравнение, соответствующее ДУ имеет вид: к²+1=0, корнями этого уравнения являются комплексные числа i и –i. Тогда ФСР уравнения составляют функции у₁(х)=cosx и у₂(х)=sinx.

Общее решение уравнения будем искать в виде у=С₁(х)cosx+ С₂(х)sinx.

Составим и решим соответствующую систему:

; Сложив уравнения системы, получим С₂(х)=1, тогда С₁(х)=-tgx.

; .

Таким образом, .

II. Нахождение частного решения нлду по виду правой части.

Рассмотрим уравнение y+ay+by=f(x). Общее решение этого уравнения будет представлять собой сумму общего решения соответствующего однородного ЛДУ и частного решения данного НЛДУ: у_он=у_оо+у_чн. Вопрос о нахождении общего решения соответствующего однородного ЛДУ уже был рассмотрен, поэтому рассмотрим нахождение частного решения данного НЛДУ в случае если функция f(x) имеет специальный внешний вид.

1. Пусть f(x)=e^xP_n(x), где P_n(x) – многочлен n-ой степени от х,  – некоторое число.

Возможны два случая:

•  – не корень характеристического уравнения, тогда частное решение имеет вид: у_чн=R_n(x)e^x, где R_n(x)– многочлен той же самой степени от х, что и в правой части;

•  – корень характеристического уравнения кратности s, тогда частное решение имеет вид: у_чн=R_n(x)х^se^x, где R_n(x)– многочлен той же самой степени от х, что и в правой части.