1.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка называют уравнение вида: y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=f(x), (1) где у(х) – некоторая пока неизвестная функция, f(x), a_i(x) – некоторые непрерывные функции.

Если все a_i не зависят от х, тогда уравнение (1) называют линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+ a_n-2y^(n-2)+…+a₁y+a₀y=f(x). (2)

Если f(x)0, то уравнение (1) называют однородным линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ): y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=0, (3)

в противном случае – неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ).

Замечание. Для уравнения (1) и любых начальных условий существует единственное решение задачи Коши.

Свойства однородных линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим ОЛДУ (3) y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=0.

1. Функция у0 является решением ОЛДУ (3).

2. Если у₁(х) и у₂(х) являются решениями ОЛДУ (3), тогда функция у(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х) является решением ОЛДУ (3).

Линейно-независимые функции. Определитель Вронского.

Определение. Функции ₁(х), ₂(х),…, _n(х), хХ, называются линейно зависимыми на множестве Х, если существуют такие числа С₁, С₂,…, С_n, не все из которых равны 0, такие что . Если такое равенство возможно лишь в том случае, когда все С_i=0, то функции ₁(х), ₂(х),…, _n(х) называются линейно независимыми на множестве Х.

Определение. Определителем Вронского для функций у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) называют определитель вида .

Теорема. Если функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) линейно зависимы, то определитель Вронского для них равен 0: .

Теорема. Пусть функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) являются решениями ОЛДУ (3)

y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=0. Тогда если для некоторого значения х₀ W(x₀)=0, то функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) будут являться линейно зависимыми.

Теорема. Пусть у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) – решения ОЛДУ (3). Тогда или определитель Вронского для этих функций W(x)=0 и у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) линейно зависимы; или W(x)0 и функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) линейно независимы.

1.3.1. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.

Определение. Функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) называют фундаментальной системой решений (ФСР) ОЛДУ (3), если каждая из этих функций является решением ОЛДУ (3) и функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) линейно независимы.

Теорема. Пусть у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) составляют фундаментальную систему решений ОЛДУ (3)

y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=0. Тогда общее решение ОЛДУ (3) имеет вид: у(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+…+С_nу_n(х), где С₁, С₂,…,С_n – некоторые постоянные.

Доказанная теорема утверждает, что если функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) составляют фундаментальную систему решений ОЛДУ, то функция у(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+…+С_nу_n(х) является общим решением ОЛДУ (3).

Теорема. Любое ОЛДУ y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y+a₀(x)y=0 имеет ФСР.