5 Теорія міри та інтегралу

ВАРІАНТ 1

1. Нехай , – алгебри підмножин множини . Чи є сукупність алгеброю підмножини ?

2. Довести, що множина всіх ірраціональних чисел відрізку дійсної числової прямої вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Довести, що дві неперервні на відрізку функції еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони рівні ( ).

5. Нехай послідовність вимірних на множині функцій збігається за мірою до вимірних на функцій та . Довести, що функції та еквівалентні на .

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 2

1. Нехай та є -алгебри підмножин множини . Чи є -алгеброю підмножин множини ?

2. Довести, що множина всіх раціональних чисел відрізку дійсної числової прямої вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай – це натуральне число і функція вимірна на вимірній множині . Чи є функція вимірною на ?

5. Нехай послідовності і вимірних на вимірній множині функцій збігаються за мірою відповідно до вимірних на функцій та . Довести, що послідовність збігається за мірою до функції .

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , де

ВАРІАНТ 3

1. Нехай і це кільця підмножин множини . Чи є кільцем підмножин множини ?

2. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функція , яку задано на відрізку , є неспадною на цьому відрізку. Чи є функція вимірною за Лебегом на відрізку ?

5. Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається за мірою до вимірної на функції , – фіксоване дійсне число. Довести, що послідовність збігається за мірою до функції .

6. Обчислити інтеграл , якщо

7. Обчислити інтеграл , де

ВАРІАНТ 4

1. Нехай – це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є множина кільцем підмножин множини ?

2. Довести, що канторова множина вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай для всіх . Чи є функція вимірною на інтервалі ?

5. Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається за мірою до деякої вимірної на функції . Довести, що для довільного додатного числа справедливе співвідношення .

6. Обчислити інтеграл , де

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 5

1. Нехай – це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є множина півкільцем?

2. Навести приклад вимірної за Лебегом множини , яка є множиною потужності континууму і має нульову лебегову міру.

3. Нехай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Функцію задано на відрізку співвідношенням , . Чиє функція вимірною за Лебегом на відрізку ?

5. Нехай послідовність вимірних за Лебегом і майже всюди невід’ємних на функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що функція є майже всюди невід’ємною на відрізку .

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , де

ВАРІАНТ 6

1. Нехай є сукупністю всіх підмножин скінченої множини . Чи є алгеброю підмножин ?

2. Нехай є множиною всіх натуральних простих чисел. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функції і , що задані на вимірній множині , вимірні на . Довести, що множина є вимірною.

5. Нехай послідовність вимірних на вимірній множині і майже всюди невідємних на функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що функція є майже всюди невідємною на множині .

6. Обчислити інтеграл , де

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 7

1. Нехай є сукупністю всіх скінчених підмножин нескінченої множини . Чи є алгеброю підмножин ?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифри 5, вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функції і , що задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що множина є вимірною.

5. Нехай послідовність вимірних на вимірній множині і майже всюди невідємних на функцій збігається за мірою до вимірної на функції . Довести, що функція є майже всюди невідємною на множині .

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 8

1. Нехай . Навести приклад півкільця підмножин , що не є кільцем.

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифри 1, вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функції і , що задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що множина є вимірною.

5. Нехай послідовності і визначених на вимірній множині функцій збігаються майже всюди на відповідно до функцій і , визначеним на . Довести, що послідовність збігається майже всюди на до .

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 9

1. Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:

а) ; б) .

Чи є множина кільцем підмножин ?

2. Чи може дорівнювани нулю міра Лебега непустої відкритої множини, що лежить на дійсній числовій прямій?

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функції , задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що функція (для всіх ) є вимірною на .

5. Нехай послідовність вимірних за Лебегом на функційзбігається за мірою до функції , що тотожно дорівнює нулю. Довести, що послідовність у загальному випадку не збігається до майже всюди на .

6. Навести приклад простої функції, що не є сумовною на відрізку .

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 10

1. Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:

а) ; б) .

Чи є множина кільцем підмножин ?

2. Нехай множина , що лежить на дійсній числовій прямій, вимірна за Лебегом і має нульову Лебегову міру. Чи є її замикання множиною нульової міри?

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Нехай функції , задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що функція , що задана співвідношенням , є вимірною на .

5. Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що послідовність збігається до за мірою.

6. Навести приклад простої функції, що не є сумовною на .

7. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

ВАРІАНТ 11

1. Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:

а) Ø, , б) ;

в) .

Чи є множина алгеброю підмножин ?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізку , запис яких у десятковій системі числення містить лише парні цифри, вимірне за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: , ; Чи збігається ця послідовність до цієї функції? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 12

1. Нехай – півкільце підмножин множини . Довести, що для будь-яких елементів існує таке натуральне число і такі елементи , що .

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 1 (хоча б в одному з разрядів), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: , Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 13

1. Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:

а) , б) .

Чи є множина кільцем?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 1 у другому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 14

1. Нехай це сукупність всіх скінчених підмножин множини нескінченої мнохини і . Чи є -алгеброю?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 2 у третьому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 15

1. Нехай це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є -кільцем?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 3 у другому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 16

1. Доведіть, що -кільце підмножин множини є кільцем.

2. Нехай є множиною всіх простих чисел. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 17

1. Доведіть, що -алгебра підмножин множини є алгеброю.

2. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нахай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 18

1. Нехай це сукупність всіх таких підмножин множини нескінченої мнохини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 2. Чи є півкільцем підмножин ?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 1, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 19

1. Нехай це сукупність всіх таких підмножин триелементної множини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 2. Чи є півкільцем підмножин ?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 2, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 20

1. Нехай це сукупність всіх таких підмножин нескінченої множини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 3. Чи є півкільцем підмножин ?

2. Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 4, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.

3. Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .

4. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо

5. Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?

6. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

7. Обчислити інтеграл , якщо

ВАРІАНТ 21

1. Довести, що система підмножин , замкнута відносно операцій перетину і об’єднання, взагалі кажучи, не є кільцем.

2. Міри і задані на алгебрі підмножин . Чи є функція, що задана співвідношенням , мірою на ?

3. Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.

4. Послідовність вимірних за Лебегом на відрізку і майже всюди на невід’ємних функцій збігається за мірою до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною?

5. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

6. Нехай множина не є вимірною за Лебегом. Наведіть приклад функції , яка визначена на відрізку і не є вимірною за Лебегом на цьому відрізку.

7. Нехай вимірні за Лебегом на відрізку функції і задовольняють нерівності . Чи є сумовною функція на відрізку , якщо функція не сумовна на цьому відрізку?

ВАРІАНТ 22

1. Довести, що система підмножин , замкнута відносно операцій перетину і різниці, є кільцем.

2. Послідовність мір, що задані на алгебрі підмножин має таку властивість, що для кожного елемента існує скінчена границя . Чи є функція , що задана співвідношенням , мірою на ?

3. Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.

4. Послідовність функцій простору збігається в середньому на до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною, якщо кожна з функцій є майже всюди на невід’ємною?

5. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

6. Нехай функція визначена на і функція є вимірною за Лебегом на цьому відрізку. Чи є вимірною за Лебегом на відрізку функція ?

7. Нехай вимірна за Лебегом на відрізку функція є сумовною на цьому відрізку. Чи є функція сумовною на відрізку ?

ВАРІАНТ 23

1. Довести, що множина свіх проміжків на дійсній числовій прямій не є кільцем.

2. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

3. Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.

4. Послідовність функцій простору збігається в середньому квадратичному на до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною, якщо кожна з функцій майже всюди на невід’ємна?

5. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

6. Нехай функція вимірна за Лебегом на відрізку . Чи є функція вимірною за Лебегом на цьому відрізку?

7. Нехай вимірна за Лебегом на відрізку функція задана таким чином, що функція є сумовною на відрізку . Чи є функція сумовною на відрізку ?

ВАРІАНТ 24

1. Довести, що множина свіх проміжків на дійсній числовій прямій є півкільцем.

2. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

3. Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.

4. Послідовність функцій простору збігається за мірою до функції . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на ?

5. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

6. Нехай функція задана на відрізку так, що є вимірною за Лебегом на цьому відрізку. Чи є функція вимірною за Лебегом на відрізку .

7. Нехай вимірні за Лебегом на відрізку функції і задані так, що виконується нерівність . Відомо, що одна з них є сумовною на . Чи є інша функція також сумовною на цьому відрізку?

ВАРІАНТ 25

1. Чи є сукупність всіх проміжків , що належать відрізку , півкільцем?

2. Чи є сумовною функція на відрізку , якщо

3. Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.

4. Послідовність функцій простору збігається поточково на відрізку до функції . Чи збігається ця послідовність до цієї функції в середньому на ?

5. Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .

6. Функції і задані на відрізку так, що є вимірною за Лебегом на цьому проміжку функція. Чи є вимірною на цьому відрізку хоча б одна з цих функцій?

7. Нехай вимірні за Лебегом на відрізку і невід’ємні на цьому відрізку функції і задані так, що це сумовна на функція. Чи є кожна з функцій , сумовною на цьому відрізку?