![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2 Лінійний функціональний аналіз
ВАРІАНТ 1
Чи є
множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай
послідовність
елементів лінійного нормованого простору
збігається до елемента
.
Довести, що
.
Чи є
множина всіх алгебраїчних многочленів
першого степеня підпростором лінійного
нормованого простору
?
Довести,
що
є лінійний обмежений оператор і знайти
його норму, якщо
.
Довести,
що
є лінійний обмежений функціонал і знайти
його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 2
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Довести, що скінчено вимірний лінійний нормований простір є банаховим.
Чи є множина
всіх алгебраїчних многочленів парного степеня підпростором лінійного нормованого простору
?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 3
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Нехай послідовність
елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента
. Довести, що
.
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів непарного степеня підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 4
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Довести, що підпростір банахового простору є банаховим простором.
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 5
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента , а послідовність
елементів задовольняє умові:
. Довести, що послідовність збігається до
.
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 6
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай лінійна многостатність
лінійного нормованого простору є повним простором відносно норми елементів . Довести, що є підпростором простору .
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 7
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що для кожного елемента
виконується співвідношення:
.
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 8
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай елементи
евклідового простору задовольняють умовам взаємної ортогональності:
, якщо
. Довести, що
.
Чи є множина незростаючих на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 9
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційовних на
функцій визначити норму елемента
за допомогою співвідношення
?
Чи є множина неспадних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 10
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Нехай
є лічильна ортонормована система елементів гільбертового простору
і
є числова послідовність. Довести, що ряд
збігається в тоді і тільки тоді, коли збігається числовий ряд
.
Чи є множина всіх незростаючих неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 11
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на
функцій визначити норму елемента
за допомогою співвідношення
?
Чи є множина всіх неспадних та неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 12
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Нехай елементи
,
належать замкненій одиничній кулі
гільбертова простора для кожного натурального і
. Довести, що
.
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 13
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента
наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 14
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Довести, що елемент гільбертового простору є ортогональним підпростору цього простору тоді і тільки тоді , коли для кожного елемента
має місце нерівність:
.
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 15
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 16
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Довести, що для кожної множини
гільбертового простору множина
є підпростором .
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 17
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на
функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
,
,
,
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 18
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Нехай
є множина всіх алгебраїчних многочленів ступеню не вище . Чи є множина
компактною у просторі ?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 19
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 20
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 21
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 22
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що
є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 23
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 24
Чи є множина
компактною у метричному просторі
?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
.
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.
ВАРІАНТ 25
Чи є множина
компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням
?
Чи є множина
підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що
є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо
.