2 Лінійний функціональний аналіз

ВАРІАНТ 1

Чи є множина компактною у метричному просторі ?

Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що .

Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів першого степеня підпростором лінійного нормованого простору ?

Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 2

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Довести, що скінчено вимірний лінійний нормований простір є банаховим.

3. Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів парного степеня підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 3

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що .

3. Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів непарного степеня підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 4

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Довести, що підпростір банахового простору є банаховим простором.

3. Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 5

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента , а послідовність елементів задовольняє умові: . Довести, що послідовність збігається до .

3. Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 6

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай лінійна многостатність лінійного нормованого простору є повним простором відносно норми елементів . Довести, що є підпростором простору .

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 7

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що для кожного елемента виконується співвідношення: .

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 8

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай елементи евклідового простору задовольняють умовам взаємної ортогональності: , якщо . Довести, що .

3. Чи є множина незростаючих на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 9

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційовних на функцій визначити норму елемента за допомогою співвідношення ?

3. Чи є множина неспадних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 10

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай є лічильна ортонормована система елементів гільбертового простору і є числова послідовність. Довести, що ряд збігається в тоді і тільки тоді, коли збігається числовий ряд .

3. Чи є множина всіх незростаючих неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 11

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента за допомогою співвідношення ?

3. Чи є множина всіх неспадних та неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 12

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай елементи , належать замкненій одиничній кулі гільбертова простора для кожного натурального і . Довести, що .

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 13

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 14

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Довести, що елемент гільбертового простору є ортогональним підпростору цього простору тоді і тільки тоді , коли для кожного елемента має місце нерівність: .

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 15

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 16

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Довести, що для кожної множини гільбертового простору множина є підпростором .

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 17

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо , , , .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 18

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Нехай є множина всіх алгебраїчних многочленів ступеню не вище . Чи є множина компактною у просторі ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 19

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 20

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 21

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 22

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 23

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 24

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .

ВАРІАНТ 25

1. Чи є множина компактною у метричному просторі ?

2. Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?

3. Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?

4. Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .

5. Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .