28.Транспортные модели. Постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая модель. Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной модели.

Начало формы

Конец формы

Постановка транспортной задачи общего вида.Классическая постановка транспортной задачи общего вида такова. Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены: a_i – объемы производства i -го поставщика, i = 1, …, m; в_j – спрос j-го потребителя, j= 1,…,n; с_ij – стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта A_i– i-го поставщика, в пункт В_j – j-го потребителя.

Для наглядности данные удобно представлять в виде таблицы, которую называют таблицей стоимостей перевозок.

Потребители Поставщики	В₁	В₂	…	В_n	запасы
А₁	С₁₁	C₁₂		C₁_n	а₁
А₂	С₂₁	C₂₂		C₂_n	а₂
…
A_m	C_m₁	C_m₂		C_mn	а_m
Потребности	в₁	в₂		в_n

Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью удовлетворялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков и суммарные транспортные расходы были бы минимальными. Под планом перевозок понимают объем перевозок, т.е. количество товара, которое необходимо перевезти от i-го поставщика к j-му потребителю. Для построения математической модели задачи необходимо ввести m·n штук переменных х_ij, i= 1,…, n, j= 1, …, m, каждая переменная х_ij обозначает объем перевозок из пункта A_i в пункт В_j. Набор переменных X = {x_ij} и будет планом, который необходимо найти, исходя из постановки задачи.

Условие разрешимости транспортной задачи. Теорема: Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребности в грузе в пунктах назначения, т. е чтобы выполнялось равенство . (5) Модель такой транспортной задачи называется закрытой, или замкнутой, или сбалансированной, в противном случае модель называется открытой.

В случае вводится фиктивный -й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю: ; аналогично, при вводится фиктивный -й пункт отправления с запасом груза и соответствующие тарифы считаются равными нулю: . Этим задача сводится к обычной транспортной задаче. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи.. Число переменных в транспортной задаче с пунктами отправления и пунктами назначения равно , а число уравнений в системе (2)-(4) - . Так как мы предполагаем выполнение условия (5), то число линейно независимых уравнений равно . Следовательно, опорный план может иметь не более отличных от нуля неизвестных. Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности , то план называется невырожденным, а если меньше - то вырожденным.