Квантовая механика
3.1. Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10-10 м.
3.2. Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при T=290 К.
3.3. Электрон движется по окружности радиусом r = 1,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Чему равна длина волны де Бройля этого электрона?
3.4. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B=15 мТл по окружности радиусом R=1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.
3.5. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 нм?
3.6. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=500 В, имеет длину волны де Бройля =1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу.
3.7. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.
3.8. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. 3.10. Определите длину волны де Бройля.
3.9. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине ?
3.10. При каком числовом значении кинетической энергии, длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине ?
3.11. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки - монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол =55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка, при кинетической энергии электронов Т=180 эВ. Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.
3.12. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d=0,15 мм. Определить, скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения =30°.
3.13. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен нормально на узкую щель шириной а=1 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии l = 20 см от щели, ширина центрального дифракционного максимума составляет x = 48 мкм.
3.14. Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до x = 10-5 м, и пылинки массой m=10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
3.15. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории ?
3.16. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни t = 10-8 с ).
3.17. Длина волны излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния t = 10-8 с, определить отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, полученной атомом.
3.18. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона.
3.19. Электрон с энергией Е = 4 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить коэффициент D прозрачности потенциального барьера.
3.20 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,l нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий (U-E), при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.
3.21. Протон с энергией Е=5 эВ движется в положительном направлении
оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер, высотой U=10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить: 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при приведенных выше условиях?
3.22. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона (U-E) = 5 эВ. Определить, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность (U-E) возрастет в 4 раза.
3.23. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид =А е-r/a, где А - некоторая постоянная, а - первый боровский радиус. Найти:
а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;
б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.
3
.24.
Воспользовавшись формулой коэффициента
прозрачности, найти для электрона с
энергией Е вероятность D
прохождения потенциального барьера,
ширина которого l и
высота U, если барьер
имеет форму, показанную на рисунках
3.1а,б,в,д (U = 10 эВ,
Е = 5 эВ, l =0,1 нм).
3.25. Найти вероятность D прохождения частицы с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рис.3.1 г), где
U(x)=U0(1-x2/l2).
3.26. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид =Ce-r/a, где С - некоторая постоянная, а - радиус первой боровской орбиты. Найти из условия нормировки значение постоянной С.
3.27. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид =Ce-r/a, где а - радиус первой боровской орбиты. Определить расстояние, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.
3.28.Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией =Ce-r/a (а – радиус первой боровской орбиты). Определить отношение вероятностей пребывания электрона в сферических слоях толщиной r=0,01 а, радиусами r1=0,5а и r2=1,5а.
3.29. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить:
1) вероятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса а, равного радиусу первой боровской орбиты; 2) вероятность того, что электрон находится вне этой области; 3) отношение вероятностей. Волновую функцию считать известной: =Ce-r/a.
3.30. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид =Ce-r/a , где а- радиус первой боровской орбиты, найти среднее значение радиуса.
3.31 Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом r = 0,1а (где а - радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.
3.32. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций (x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид ||2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т.е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале (0 < х < l) и квантовым числом n, функцию считать нормированной на единицу.
3.33. Частица в потенциальном ящике l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить в каких точках интервала (0 < x < l) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.
3.34. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < х < l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.
3.35. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружить частицу: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика;
3.36. В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале l/4 , равноудаленном от стенок ящика.
3.37. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале l/4 равноудаленном от стенок ящика.
3.38. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4,равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы. Ширина ямы l.
3.39. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <х> электрона (0 < x < l).
3.40. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети "ямы".
3.41. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить вероятность обнаружения частицы в области 3/8 l < x < 5/8 l.
3.42. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками (0<х<l). Найти вероятность пребывания частицы в области l/3 < х < 2l/3.