Глава 2. Элементы комбинаторики.

Объектами комбинаторики являются элементы множества Х={x₁;x₂;...;x_n} мощности n и правила их отображения на другое множество Y={y₁;y₂;...;y_k} мощностиk, определяющие способы выбораk элементов множества Х в соответствии с поставленной задачей, т.е. h^k:XY, где

h^k - оператор отображенияk-местной выборки из множества Х={x₁;x₂;...;x_n}; т.е. y^kY, где

y^k - выборкаkэлементов из множества Х.

Специфика комбинаторного анализа состоит в правилах выбора элементов множества Х для формирования y^k, правилах одно-или многократного использования элементов множества Х внутри каждой выборки и правилах наведения порядка внутри каждой выборки. Выборки элементов множества Х, т.е. y^kY называют комбинаторными объектами, а их число - комбинаторным числом.

Например, для четырехэлементного множества Х={x₁;x₂;х₃;x₄} могут быть сформированы такие трехэлементные множества:

1){(x₁;x₂;х₃);(x₂;х₁;x₃);(x₂;х₃;x₁);(x₃;x₂;х₁);...; (x₄;х₃;x₂)};

2){ {x₁;x₂;х₃}; {x₁;х₃;x₄}; {x₂;х₃;x₄}};

3){ (x₁;x₁;х₁);(x₁;x₁;х₂);(x₁;x₂;х₁);(x₂;х₁;x₁);...;(x₄;x₄;x₄)};

В первом случае важным при формировании выборок является порядок элементов внутри выборки. Так формируется кортеж.

Во втором случае важным является не порядок элементов внутри, а только их различие. Так формируются подмножества.

В третьем случае главным является повторяемость использования одного элемента. В этом случае также формируется кортеж, а повторяемость задается, как правило, спецификацией K={k₁;k₂;...;k_n}, где

k_i- число повторений в выборке i-го элемента генеральной совокупности;

K=(k₁+k₂+...+k_n)=k.

Итак, выборки бывают упорядоченными(см. случаи 1) и 3)), когда важным является место элемента в выборке и неупорядоченными(см. случай 2)), когда важным является различие элементов, используемых в выборке.

Правила формирования упорядоченных выборок обеспечиваются операциями размещения и перестановки элементов множества X, а неупорядоченных выборок - операциями их сочетания и разбиения.

1. Размещение из n элементов по k без повторений,

Пусть дано множество Х={x₁;x₂;...;x_n} - множество шаров, частиц, книг, файлов и т.п. и множество Y={y₁;y₂;...;y_k} - множество ячеек, урн, стеллажей, дискет и т.п. Сколько существует способов размещения каждого элемента множества Х на каждое место множества Y. То есть необходимо выяснить разнообразие по участию всех элементов множества Х и месту их расположения в выборке. Очевидно, что при формировании выборок будут получены кортежи.

Множество комбинаторных объектов для размещения может быть описано так: А_n^k={(x₁;x₂;...);(x₂;x₁;...);...}.

Комбинаторное число размещения из n элементов по kбез повторения определяется по формуле: (n)_k=n(n-1)...(n-k+1).

Пусть Х={x₁;x₂;x₃}. Необходимо разместить элементы этого множества по двум ячейкам Y={y₁;y₂}. Множество комбинаторных объектов равно:

y2

x2

x3

x1

x3

x1

x2

y1

x1

x1

x2

x2

x3

x3

А₃²={(x₁;x₂);(x₂;x₁);(x₁;x₃);(x₃;x₁);(x₂;x₃);(x₃;x₂)}.

Комбинаторное число размещения из 3 элементов по 2 без повторений равно: (3)₂=32=6.

На рис. 15а) графически представлен результат размещения из 3-х элементов по 2 без повторения.

Рис. 15а). Размещение без повторения

Х={x₁;x₂;x₃}; Y={y₁;y₂}.

2. Размещение из n по k с повторением.

Отличительной особенностью данного способа размещения является произвольное повторение, но не более kраз, каждого элемента множества Х в каждой выборке.

Множество комбинаторных объектов для этой процедуры равно:

А_{n повт}^k={(x₁;x₁;...);(x₂;x₂;...);...}.

Комбинаторное число размещения из n элементов по kс повторением, определяется формулой: (n)_k^повт.=n^k.

Пусть Х={x₁;x₂}. Необходимо разместить элементы этого множества по трем ячейкам Y={y₁;y₂;y₃}.

Множество комбинаторных объектов равно:

А_{2 повт.}³={(x₁;x₁;x₁);(x₁;x₁;x₂);(x₁;x₂;x₁);(x₁;x₂;x₂);(x₂;x₁;x₁);(x₂;x₁;x₂);

(x₂;x₂;x₁);(x₂;x₂;x₂)}.

Комбинаторное число размещения из 2-х элементов по 3 с повторением равно: (2)₃^повт.=2³=8.

На рис. 15б) графически представлен результат размещения из 2-х элементов по 3 с повторением.

y3

x1

x2

x1

x1

x1

x2

x2

x2

y2

x1

x1

x2

x1

x2

x2

x1

x2

y1

x1

x1

x1

x2

x2

x1

x2

x2

Рис. 15б). Размещение с повторением Х={x₁;x₂}; Y={y₁;y₂;y₃}.

3. Размещение из n по k с ограничением спецификацией.

Отличительной способностью данного размещения является ограничение повторений спецификацией K={k₁;k₂;...;k_n} при условииK=(k₁+k₂+...+k_n)=k.

Комбинаторное число такого размещения определяется выражением: (n)_k1;k2;...kn^повт.=(k!)/(k₁!k₂!...k_n!)

y1

x1

x1

x2

y2

x1

x2

x1

y3

x2

x1

x1

Рис. 15в). Размещение с повторением по спецификации Х={x₁;x₂}; Y={y₁;y₂;y₃}, K={2₁;1₂}.

Пусть Х={x₁;x₂}. Необходимо разместить элементы этого множества по трем ячейкам Y={y₁;y₂;y₃} с заданной спецификацией K={2₁;1₂}.

Множество комбинаторных объектов есть

А_{n спец}^k={(x₁;x₁;x₂);(x₂;x₁;x₁);(x₁;x₂;x₁)}.

)

Комбинаторное число размещения 2-х элементов по трем ячейкам с повторением по заданной спецификации равно:

(

2

=3!/(2!1!)=3.

^спец

³

На рис. 15в) дана графическая интерпретация этой задачи.

4. Перестановка элементов множества.

Это есть предельный случай для размещения, когда k=n, т.е. когда число ячеек, урн, стеллажей, дискет равно числу частиц, шаров, книг, файлов и т.п. Эта процедура имеет большое значение при выборе алгоритмов сортировки данных на компьютере для быстрого и экономного использования оперативной памяти. Все алгоритмы опираются на отношение порядка и формируют линейно упорядоченные множества.

Если применить все вышеприведенные формулы для условия k=n, то получим:

а) комбинаторное число перестановок без повторения:

(n)_n=n! (см. рис. 15г)).

y1

x1

x1

x2

x2

x3

x3

y2

x2

x3

x1

x3

x1

x2

y3

x3

x2

x3

x1

x2

x1

Рис. 15г). Перестановки Х={x₁;x₂;x₃}; Y={y₁;y₂;y₃}.

б) комбинаторное число перестановок с повторением не более n раз

(n)_n^повт.=nⁿ

в) комбинаторное число перестановок с повторением по спецификации

(n)_k^спец=(n!)/(k₁!k₂!...k_n!), где |k₁+k₂+...+k_n|=n.

Пусть необходимо застроить улицу 10 домами, среди которых 3 дома типа а₁, 5 домов типа а₂, 2 дома типа а₃. Сколько способов застройки улицы?

Исходя из условия задачи множество типов домов есть Х={а₁;а₂;а₃}, а спецификация К={3₁;5₂;2₃}.

Число вариантов застройки улицы равно: (n)_спец.=(10!)/(3!5!2!)=2520 вариантов.

Сортировку файлов для компьютера следует понимать как решение задачи их перестановки. Решение этой задачи “в лоб” потребует больших вычислительных процедур, т.к. число перестановок равно n!. Однако, если использовать отношение порядка на множестве индексов файлов (целые числа), то можно существенно сократить весь вычислительный процесс.

Один из алгоритмов сортировки файлов:

шаг 1: выбрать наименьший элемент среди множества индексов файлов;

шаг 2: поменять местами выбранный и первый элементы множества индексов файлов;

шаг 3: выбрать наименьший элемент на множестве оставшихся индексов файлов;

шаг 4: поменять местами выбранный и первый элемент оставшегося множества индексов файлов;

шаг 5: если множество оставшихся индексов файлов пусто, то конец, в противном случае перейти к Шагу 3.

Пусть Х={44;55;12;42;94;18;06;67}. Необходимо упорядочить это множество.

На рис. 14 представлен процесс упорядочивания целых чисел данного примера.

0 такт:	44	55	12	42	94	18	06	67
1 такт:	06	55	12	42	94	18	44	67
2 такт:	06	12	55	42	94	18	44	67
3 такт:	06	12	18	42	94	55	44	67
4 такт:	06	12	18	42	44	55	94	67
5 такт:	06	12	18	42	44	55	67	94
6 такт:	06	12	18	42	44	55	67	94	конец.

Рис. 14. Процесс упорядочивания целых чисел множества Х={44;55;12;42;94;18;06;67}.

Итак, для упорядочивания множества из 8-ми чисел потребовалось рассмотреть 7 перестановок. При решениие задачи “в лоб”, т.е. при просмотре всех перестановок необходимо выполнить 8!=40320 перестановок.

5. Сочетание из n элементов по k без повторений.

Пусть дано множество Х={x₁;x₂;...;x_n} и множество Y={y₁;y₂;...;y_k}. Сколько существует подмножеств множества Х мощностиk, отличающихся между собой не порядком расположения элементов в выборке, а только различием хотя бы одним элементом? Такое формирование выборок иначе можно назвать “укладывание элементов множества Х в “мешок”, т.е. формируются неупорядоченные выборки мощностиk.

Множество комбинаторных объектов такого отображения есть:

С_n^k={(x₁;x₂;...);(x₁;x₃;...);(x₂;x₃;...);...}.

Комбинаторное число сочетаний из n по kбез повторения есть

(

n

k

)

=(n!)/(k!(n-k)!).

Пусть Х={x₁;x₂;x₃}. Необходимо найти комбинаторные объекты и комбинаторное число сочетаний из 3-х элементов по 2 без повторения, т.е. Y={y₁;y₂}.

Множество комбинаторных объектов есть: С₃²={(x₁;x₂);(x₁;x₃);(x₂;x₃)}.

(

)

3

2

Комбинаторное число сочетаниq из 3-х элементов по 2 равно:

=(3!)/(2!1!)=3.

Графически эта процедура представлена на рис. 15д).

y1

x1

x1

x2

y2

x2

x3

x3

Рис. 15д). Сочетания без повторения Х={x₁;x₂;x₃}; Y={y₁;y₂}.

2.6. Сочетание из n элементов по k с повторением.Отличительной особенностью данного способа сочетания является многократное, но не болееkраз, использование при выборке одного и того же элемента множества Х.

Множество комбинаторных объектов для этой процедуры равно:

С_{n повт}^k={(x₁;x₁;x₁;...);(x₁;x₂;x₂;...);(x₂;x₂;x₃;...)}.

(

n

k

)

Комбинаторное число сочетания из n поkс повторением равно:

= (n+k -1)!/( k !(n-1)!).

Пусть Х={x₁;x₂;x₃} и Y={y₁;y₂}. Необходимо выполнить процедуру сочетания из 3-х элементов по 2 с повторением, т.е.

С_{3 повт.}²={(x₁;x₁);(x₂;x₂);(x₃;x₃);(x₁;x₂);(x₁;x₃);(x₂;x₃)}.

(

)

Комбинаторное число этой процедуры равно:

=(3+2-1)!/(2!(3-1)!)=(1234)/(1212)=6.

32

Графически эта процедура для сочетания из 3-элементов по 2 с повторением представлена на рис. 15е).

y2

x1

x2

x3

x2

x3

x3

y1

x1

x1

x1

x2

x2

x3

Рис. 15е). Сочетание с повторением Х={x₁;x₂;x₃}; Y={y₁;y₂}.

7. Разбиение множества.

1. Если множество Y представить набором Y={Y₁;Y₂;...;Y_t}, то отображение множества Х={x₁;x₂;...;x_n} на Y определит разбиение множества на подмножества Х={Х₁;Х₂;...;Х_t}, при выполнении следующих условий:

1. |Y₁|+|Y₂|+...+|Y_t|=|X|=n;

1. _i=1^tX_i=X;

1. X_iX_j=0, для ij; 1i, jt;

1. X_i, для 1it;

Каждое подмножество Х_iназывают блоком разбиения множества Х, а само разбиение обозначают символом_t(Х), т.е._t(Х)={Х₁;Х₂;...;Х_t}.

Число таких разбиений множества Х определяется числом Стирлинга второго рода S(n;t) по системе рекуррентных соотношений:

{

S(n;t)=|_t(Х)|, гдеn=|X|, аt-число подмножеств.

S(n;0)=0 для n>0;

S(n;n)=1 для n0;

S(n;t)=S(n-t;t-1)+tS(n-t;t) для 0<tn.

Пусть Х={x₁;x₂;x₃}. Необходимо разбить это множество на два подмножества, одно из которых одноэлементно, а другое двухэлементно, т.е.

Y={{y₁₁};{y₂₁;y₂₂}}.

Множество комбинаторных объектов разбиения множества Х равно:

₂(3)={{x₁;{x₂;x₃}};{x₂;{x₁;x₃}};{x₃;{x₁;x₂}}}.

Число таких разбиений по формуле Стирлинга второго рода равно

S(3;2)=S(2;1)+2S(2;2)=S(2;1)+2; S(2;1)=S(1;0)+1S(1;1)=0+1=1

S(3;2)=1+2=3.

Y2

x2 x3

x1 x3

x1 x2

Y1

x1

x2

x3

Графически процедура разбиения трехэлементного множества Х на два подмножества представлена на рис. 15ж).

Рис. 15ж). Разбиение множества Х={x₁;x₂;x₃};Y={Y₁;Y₂};Y₁={y₁₁};Y₂={y₂₁;y₂₂}.

Рассмотрим более сложный пример. Пусть дано множество Х={a;b;c;d}. Необходимо выполнить разбиение на два одноэлементных подмножества и одно двух элементное, т.е. Y={{y₁₁};{y₂₁};{y₃₁;y₃₂}}.

Множество комбинаторных объектов разбиения множества Х равно:

₃(4)={{{a};{b};{c;d}};{{a};{c};{b;d}};{{a};{d};{b;c}};{{b};{c};{a;d}};{{b};{d};{a;c}};{{c};{d};{a;b}}}.

Число таких разбиений по формуле Стирлинга второго рода равно:

S(4;3)=S(3;2)+3S(3;3)=S(3;2)+3; S(3;2)=S(2;1)+2S(2;2)=S(2;1)+2; S(2;1)=S(1;0)+1S(1;1)=0+1;

S(4;3)=3+2+1=6.

2.8. Семейство подмножеств множества.

{(

|X|

|X|

)}

}

….

Множество всех подмножеств множества Х, включающее в себя пустое подмножество -, множество одноэлементных подмножеств множестваX-{(|X|)₁}, множество двухэлементных подмножеств множестваX- {(|X|)₂}, множество трёхэлементных подмножеств множестваX- {(|X|)₃}, и т.д. до множества, опирающегося на все элементы множестваX- {(|X|)_|X|}, называют семейством подмножеств множестваXили его булеаномB(Х), т.е.

{

{(

)}

;

|X|

1

;

{(

|X|

2

)}

{(

;

;

)}

|X|

3

…. . .

;

B(Х)=

Например пусть X={a;b;c;d}. Семейство подмножеств данного множества есть:

B(Х)={;{a};{b};{c};{d};{a;b};{a;c};{a;d};{b;c};{b;d};{c;d};{a;b;c};

{a;b;d};{b;c;d};{a;c;d};{a;b;c;d}}.

Для определения числа элементов семейства подмножеств множества Х достаточно воспользоваться формулой | B(Х)|=2^|x|.

9. Правила комбинаторики.

Рассмотренные выше процедуры обеспечивают формирование различных комбинаторных объектов. Однако при выдвижении нескольких условий и необходимости использования нескольких процедур следует применить дополнительные правила комбинаторного анализа:

1)правило суммы:если комбинаторный объект х_iХ_iможет быть выбран из исходного множества Х “s” способами, а комбинаторный объект х_jХ_jиз того же исходного множества Х другими “t” способами, то выбор “либо х_i, либо х_j“ может быть осуществлен “(s+t)” способами.

2)правило произведения:если комбинаторный объект х_iХ_iможет быть выбран из исходного множества Х “s” способами и после каждого из таких выборов комбинаторный объект х_jХ_j, в свою очередь, может быть выбран “t” способами, то выбор “х_iи х_j“ в указанном порядке может быть осуществлен “(st)” способами.

3)принцип включения-исключения:если существует множество Х и множество свойств Y={y₁;y₂;...;y_t}, которыми могут обладать элементы множества Х, то может быть выполнено разбиение множества Х на подмножества по числу свойств, которыми они обладают. В этом случае разбиение множества на подмножества удовлетворяет следующему условию:

|X₀|=|X|-|X₁|+|X₂|-|X₃|...+(-1)^t|X_t|, где

|X₀| - число элементов множества Х, не обладающих ни одним свойством множества Y;

|X| - общее число элементов множества Х;

|X₁| - число элементов множества Х, обладающих только одним свойством множества Y;

|X₂| - число элементов множества Х, обладающих двумя свойствами множестваY;

|X₃| - число элементов множества Х, обладающих тремя свойствами множества Y;

|X_t| - число элементов множества Х, обладающих t-ым количеством свойств множества Y;

t- количество свойств или число элементов множества Y.

Следует обратить внимание, что знак “+” ставят для четного количества свойств множества Y, а знак “-” - для нечетного количества свойств множества Y.

Путь дано множество Х, состоящее из подмножеств А, В, С. Элементы множества Х могут принадлежать одному, двум и трем подмножествам. Согласно принципу включения-исключения можно составить тождество:

=|ABC|-|A|-|B|-|C|+|AB|+|AC|+|BC|-|ABC|.

Данное выражение позволяет найти число элементов для любой операции, если известны их значения для всех других операций.

Например, число элементов множества Х, принадлежащих объединению трех подмножеств А, В и С равно:

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|.

Для примера рассмотрим студенческую группу и отношение студентов к спорту и учебе. Пусть в студенческой группе обучается 50 человек, т.е. |X|=50. В группе 20 юношей (студент обладает одним свойством -”быть юношей”), т.е. |X₁₁|=20. В группе 20 студентов имеют хорошую успеваемость ( студент обладает также одним свойством -”быть хорошо успевающим”), т.е. |X₁₂|=20. В группе 20 студентов увлекаются спортом (студент обладает также одним свойством -”увлекается спортом”), т.е. |X₁₃|=20. 5 юношей имеют хорошую успеваемость (студент обладает двумя свойствами -”быть юношей” и “быть хорошо успевающим”), т.е. |X₂₁|=|X₁₁X₁₂|=5. 10 юношей увлекаются спортом (студент обладает двумя свойствами - “быть юношей” и “увлекается спортом”), т.е. |X₂₂|=|X₁₁X₁₃|=10. 10 хорошо успевающих студента увлекаются спортом ( студент обладает двумя свойствами - “быть хорошо успевающим” и “увлекаются спортом”), т.е. |X₂₃|=|X₁₂X₁₃|=10. 5 юношей имеют хорошую успеваемость и увлекаются спортом (студент обладает тремя свойствами - “ быть юношей”, “быть хорошо успевающим” и “ увлекается спортом”), т.е. |X₃₁|=|X₁₁X₁₂X₁₃|=5. Сколько девушек (дополнение к множеству X₁₁) имеют слабую успеваемость (дополнение к множеству X₁₂) и не увлекаются спортом ( дополнение к множеству X₁₃), т.е.(X₁₁X₁₂X₁₃)=(X₁₁X₁₂X₁₃)?

|(X₁₁X₁₂X₁₃)|=|X|-|X₁₁|-|X₁₂|-|X₁₃|+|X₂₁|+|X₂₂|+|X₂₃|-|X₃₁|

|(X₁₁X₁₂X₁₃)|=50-20-20-20+5+10+10-5=10.

Итак, 10 девушек имеют слабую успеваемость и не увлекаются спортом.

10. Применение комбинаторики к теории вероятностей.

Пусть дана игральная кость - кубик из однородного материала, на гранях которого указаны очки: “.”, “:”, “...”, “::”, “:.:”, “:::”. Все грани кубика симметричны и равновелики.

При подбрасывании игральной кости ведется подсчет количества очков на одной верхней грани. В результате таких экспериментов (подбрасывание игральной кости) может появится шесть взаимоисключающих исходов: появление одного очка, двух, трех, ..., шести. Такие исходы принято называть в теории вероятностей элементарными событиями - Е_i. В силу однородности материала кубика и симметрии его граней все элементарные события равновероятны. Поэтому вероятность каждого элементарного события равна 1/6. Если бы кубик имел n граней, то вероятность элементарного события Е_iбыла бы равна Р(Е_i)=1/n. Так определяется вероятность равновероятных и взаимоисключающих элементарных событий.

Множество очков игральной кости можно разбить на два взаимоисключающих подмножества: четное и нечетное количество очков на грани. В этом случае, если поставлена задача определить вероятность появления четного количества очков, то такое элементарное событие А_iвключает в себя три элементарных события Е_iдля игральной кости: появление 2-х, 4-х и 6-ти очков. Таким образом вероятности элементарного события А_iблагоприятствуют три элементарных события Е_i. Для игральной кости эта вероятность равна: Р(А_i)=3/6=1/2.

Событие называют достоверным, если оно неизбежно наступает в результате опыта. Например, при бросании игральной кости достоверным будет появление числа очков меньше семи. Этому факту благоприятствуют все шесть элементарных исходов. Вероятность достоверного события равна Р(А_i)=1.

Событие называют невозможным, если оно заведомо не может произойти в данном эксперименте. При бросании игральной кости невозможным событием будет появление числа очков более шести. Вероятность невозможного события равна Р(А_i)=0.

Таким образом для любого события А_iвероятность заключена от 0 до 1, т.е. 0Р(А_i)1.

Пусть слово “книга” составлено из букв разрезанной азбуки. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Какова вероятность того, что у него снова получится слово “книга”? Общее число элементарных событий равно числу перестановок букв в слове книга, т.е. 5!=120. Все эти исходы для ребенка равновероятны, поэтому вероятность одного элементарного события (правильность сборки слова “книга”) равна 1/120.

В качестве второго примера рассмотрим использование двух игральных костей и поставим задачу поиска вероятности одинакового количества очков при подбрасывании двух игральных костей. Каждый исход опыта можно описать парой чисел (а;b), где а - число очков на первой кости, b -число очков на второй кости. Найдем число возможных различных исходов. Число а может быть любым из шести {1;2;3;4;5;6}, так же и число очков для b. В результате имеем выборку, состоящую из двух элементов двух разных множеств ( игральных костей). Число таких выборок равно 6²=36. Очевидно, что все исходы равновероятны. Рассмотрим событие А - “на обеих костях выпадает одинаковое число очков”. Для этого события возможны шесть исходов; Е={(1;1);(2;2);(3;3);...;(6;6)}. Все эти события также равновероятны и их число равно шести. Следовательно вероятность события А на множестве (a;b) совместимых исходов двух игральных костей равна Р(А)=6/36=1/6.

Контрольные вопросы и задачи.

1. Сколько можно составить перестановок из n перфокарт в которых две перфокарты ( например a и b) не стояли бы рядом?

2. Сколько можно получить четырехзначных чисел из цифр 0;1;2;3?

3. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1;2;3;4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

4. Сколькими способами можно на шахматной доске расставить 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

5. в меню столовой имеется следующий набор блюд:

суп молочный борщ уха

сырники голубцы мясо тушеное плов

компот чай

Сколько различных обедов из трех блюд (первое, второе и третье) можно составить?

6. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера?

7. Сейф запирается на замок с секретом, состоящем из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0;1;2;...;9. Замок открывается при условии набора определенной комбинации цифр - “магическое слово”. Сколько времени может быть затрачено на открывание сейфа подбором “магического слова”, если на составление одной комбинации затрачено 5 сек.

8. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова “КОЛОКОЛ”?

9. В цехе имеется 9 свободных рабочих мест, из которых на двух могут работать только женщины, на трех - только мужчины. Сколькими способами можно распределить трех женщин и четырех мужчин на эти рабочие места?

10. Из 30 сотрудников отдела английский язык знают 19 человек, немецкий - 17, французский -11, английский и немецкий - 12, английский и французский - 7, немецкий и французский -5, все три языка - 2 человека. Сколько сотрудников не владеют иностранным языком?

11. Сколькими способами можно расставить n нулей и kединиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

12. Из n букв, среди которых а встречается раз, буква b-раз, а остальные попарно различны, составляются слова длины r. Сколько среди них будет таких, которые содержат h раз букву а иkраз букву b?

13. Из цифр 1;2;3;4;5; составляются трехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получится чисел? Сколько может быть получено четных чисел от сложения двух полученных трехзначных чисел?

14. В магазине продаются тетради с обложками синего, зеленого и желтого цвета. Ученик купил 10 тетрадей. Сколькими способами он мог сделать покупку, если известно, что он купил хотя бы по одной тетрадке каждого цвета?

60