8 Вероятность события

Случайность события .Выполнение определенных условий

или действий для выявления рассматриваемым событием носит

название опыта или эксперимента .События называются

случайными если в результате опыта оно может либо

произойти либо нет .Событие называется достоверным

если оно обязательно появляется в результате данного

опыта и невозможно если оно не может появиться в

данном опыте .событие обозначаются большими буквами( А,В)

12 Дисперсия и ее свойства для дискретной случайной величины

Дисперсия случ. Величины Х называется МО квадрата ее отклонения

МО самой величины

Д(х)=Дх= М(Х-Мх)²

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание

квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Она характеризует степень разброса значений случайной величины

относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона

значений.

Расчетные формулы:

(6.9)

Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:

(6.10)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания

(разброса) значений случайной величины относительно

ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной,

так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядности характеристики рассеивания пользуются

величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X 

называется характеристика

. (6.11)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ,

и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины

 с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

Доказательство: по определению дисперсии

(6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную

величину с ее дисперсия умножается на с².

Доказательство: по определению дисперсии

. (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

(6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные

значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х.

Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического

ожидания М[сХ] больше, чем возможные значения Х вокруг М[X],

т.е.  . Если 0<½с½<1, то  .

11. Мо и его свойства для дискретной случайной величины

   Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод

поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:     m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,     m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,     Здесь m₁+m₂+...+m_n=N. Найдем среднее арифметическое

значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

   Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как

случайную величину  , принимающую значения х₁, х₂, ..., х_n, c

соответствующими вероятностями p₁=m₁/N,p₂=m₂/N, ..., p_n=m_n/N,

так как вероятность p_i появления подшипника с внешним диаметром x_i 

равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср 

внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

   Пусть   - дискретная случайная величина с заданным законом

распределения вероятностей     

Значения	х1	х2	. . .	хn
Вероятности	p1	p2	. . .	pn

   Математическим ожиданием   дискретной случайной

величины   называется сумма парных произведений всех возможных

значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

   Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний

диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной

величины   - диаметру подшипника.     Математическим ожиданием   непрерывной случайной

величины   с плотностью распределения   называется число,

определяемое равенством

   При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой

части равенства (40) существует.     Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся

доказательством только первых двух свойств, которое проведем для

дискретных случайных величин.     1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.     Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную

величину  , которая может принимать только одно значение C c

вероятностью равной единице. Поэтому       2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического

ожидания, т.е.

   4°. Математическое ожидание произведения двух независимых

случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин