- •Федеральное агентство по образованию российской федерации
- •По дисциплине “Дискретная математика”
- •По дисциплине “Дискретная математика” для студентов специальности
- •От автора
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1: «Множество. Алгебра множеств»
- •Основное правило комбинаторики (показано на примере)
- •Булева алгебра характеристических векторов.
- •Утверждение
- •Следствие
- •Булева алгебра высказываний (алгебра логики)
- •Лекция 3: «Определение и способ задания булевых функций»
- •Лекция 4: «Дизъюнктивные нормальные формы (днф).Конъюнктивные нормальные формы (кнф)»
- •Лекция 5: «Продолжение темы днф»
- •Метод карт Карно для нахождения минимальной днф
- •Лекция 6: «Метод Квайна – Мак-Клоски для нахождения минимальной днф»
- •Идея метода Квайна (алгоритм)
- •Формализация Мак-Клоски.
- •Лекция 7: «Функционально полные системы функций»
- •Лекция 8: «Продолжение темы Многочлены Жегалкина»
- •Классы функций. Замкнутые и незамкнутые классы. Получение констант и элементарных булевых функций из заданной системы функций
- •Лемма о немонотонной функции
- •Лемма о нелинейной функции
- •Лекция 9: «Продолжение темы Классы функций»
- •Лекция 10: «Функциональные элементы. Логические схемы»
- •Сумматор n-разрядных двоичных чисел
- •Лекция 11: «Графы»
- •Лекция 12: «Эйлеровы графы»
- •Лекция 13: «Сети. Пути в орграфах. Остовы минимальной длины»
- •Лекция 14: «Парное сочетание (паросочетание) двудольных графов»
- •Алгоритм оптимального назначения
- •Лекция 15: «Потоки в транспортных сетях»
- •Лекция 15: «Элементы комбинаторики» Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
Лекция 3: «Определение и способ задания булевых функций»
Булевой функцией от n аргументов называется однозначное отображение n – мерного булева куба на одномерный булев куб.
Способы задания функций
Табличный
X1 X2 X3 … XN |
F(X) |
0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
|
… |
|
1 1 1 1 1 1 1 1 1 |
n |
значение функции от данных аргументов.
Порядок возрастания векторов по мере возрастания их номеров называют лексикографическим.
Векторный
F = (n)
3. Геометрический
Единичным вектором для данной функции называется тот вектор, значение функции на котором равно 1.
Носителем данной функции – совокупность всех единичных векторов этой функции (Nf – носитель функции f)
На векторах, помеченных звездочкой, функция обращается в 1.
Nf= {001, 011, 100, 110} = [1,3,4,6] [] – указаны номера векторов.
В виде формулы.
Функция f зависит от переменной xiфиктивно, если для любых двух наборов значений переменных, отличающихся только значением переменной xi, значения функции f совпадают.
Будем говорить, что f зависит от переменной xiсущественно, если существуют такие два набора значений, отличающихся только значением переменной xi, на которых значения функций различно.
Фиктивные переменные у функции можно добавлять и исключать.
Две булевы функции называются равными или равносильными, если одну можно получить из другой путем добавления и изъятия фиктивных переменных.
Строим таблицу функций при n = 1.
X |
0 |
X |
_ X |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Таблица всех элементарных булевых функций, применяемых в записи формул
X |
Y |
0 |
& |
_____ YX |
X |
___ XY |
Y |
+ |
V |
|
~ |
_ Y |
X Y |
_X |
YX |
/ |
1 | |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 | |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 | |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 | |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Все эти функции от двух аргументов мы и будем называть элементарными булевыми функциями.
Основными элементарными функциями являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.
Элементарные булевы функции удовлетворяют всем аксиомам булевой алгебры.
Суперпозиции булевых функций
Ф = {ф1…фk}
F называется элементарной суперпозицией функции из множества Ф, если она получена одним из следующих способов.
Переименование какого-нибудь аргумента в одной из функций системы (возможно отождествление аргумента).
В одну из функций системы вместо любого аргумента ставится значение любой функции из этой системы.
Ф1= {Y…xn}
Фi = (x1 … фj(x1…xn) … xn)
Ф(1)– множество всех элементарных суперпозиций из системы Ф.
Ф(k+1)– множество всех элементарных суперпозиций из систему Фk.
Функция g называется суперпозицией функций из системы, если
g Фn
Это означает, что g можно получить из функции системы Ф, применяя конечное число раз операцию элементарной суперпозиции.
Конкретное выражение суперпозиции будем называть формулой над системой Ф.
G = Fф
Суперпозиция элементарных булевых функций – формула.
Для удобства записи договоримся, что отрицание – самая сильная операция. Следующая – конъюнкция, а остальные – равносильны.
_ _
X+Y = XY V XY
_ _
X ~ Y = XY V XY
__
X Y = X V Y
_ _
X Y = X Y