- •Федеральное агентство по образованию российской федерации
- •По дисциплине “Дискретная математика”
- •По дисциплине “Дискретная математика” для студентов специальности
- •От автора
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1: «Множество. Алгебра множеств»
- •Основное правило комбинаторики (показано на примере)
- •Булева алгебра характеристических векторов.
- •Утверждение
- •Следствие
- •Булева алгебра высказываний (алгебра логики)
- •Лекция 3: «Определение и способ задания булевых функций»
- •Лекция 4: «Дизъюнктивные нормальные формы (днф).Конъюнктивные нормальные формы (кнф)»
- •Лекция 5: «Продолжение темы днф»
- •Метод карт Карно для нахождения минимальной днф
- •Лекция 6: «Метод Квайна – Мак-Клоски для нахождения минимальной днф»
- •Идея метода Квайна (алгоритм)
- •Формализация Мак-Клоски.
- •Лекция 7: «Функционально полные системы функций»
- •Лекция 8: «Продолжение темы Многочлены Жегалкина»
- •Классы функций. Замкнутые и незамкнутые классы. Получение констант и элементарных булевых функций из заданной системы функций
- •Лемма о немонотонной функции
- •Лемма о нелинейной функции
- •Лекция 9: «Продолжение темы Классы функций»
- •Лекция 10: «Функциональные элементы. Логические схемы»
- •Сумматор n-разрядных двоичных чисел
- •Лекция 11: «Графы»
- •Лекция 12: «Эйлеровы графы»
- •Лекция 13: «Сети. Пути в орграфах. Остовы минимальной длины»
- •Лекция 14: «Парное сочетание (паросочетание) двудольных графов»
- •Алгоритм оптимального назначения
- •Лекция 15: «Потоки в транспортных сетях»
- •Лекция 15: «Элементы комбинаторики» Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
Теорема.
Доказательство. Очевидно, Действительно, объектA – неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число . После того, как этиm элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “A и B“ – упорядоченная выборка.
Пример 5. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?
Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.
Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).
Теорема. (n) = nm.
Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем nm .
Пример 6. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?
Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 104.
Пример 7. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?
Это есть выборка, объемом m из двух элементов. Ответ: 2m
Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа и т.д., ks элементов s-го типа, причем k1 + k2 + ... + ks = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается Cn(k1, k2, ..., ks). Числа Cn(k1, k2, ..., ks) называются полиномиальными коэффициентами.
Теорема.Cn(k1, ..., ks)=
Доказательство проведем по индукции по s, т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k1 = n, все элементы одного типа и Cn(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k1 + k2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k1 (или k2): выбираем k1 место, куда помещаем элементы первого типа.
Cn(k1,k2) =
Пусть формула верна для s=m, т.е.n=k1+ ... +kmи
Cn(k1, ...,km)=
Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k1 +... + km + km+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (n – km+1) элементов. Объект A можно выбрать способом,B – (k1, ..., km) способами. По принципу произведения
и мы получили требуемую формулу.
Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что
Пример 8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?
Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1= 3), буква “м” – 2 раза (k2 = 2), “т” – 2 раза (k3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда k3 = k4 = k5 = 1.
C10 (3, 2, , 2, 1, 1, 1) = =151200.
Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число mn ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).
Теорема. (n) = .
Доказательство. Пусть в выборку вошло m1 элементов первого типа, m2 элементов второго типа, ...mn – n-го типа. Причем каждое 0 m i m и m1+m2+ ...+ mn= =m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {bn} существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n) равно числу векторов bn. “ Длина вектора” bn равна числу 0 и 1, или m+ +n–1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n 1 мест, а это будет .
Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать ? (Предполагается, что пирожных каждого вида 4).
Число способов будет
Пример10. Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.
1. Перестановки: {abc, bac, bca, acb, cab, cba}. P3=3!=6.
2. Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.
3. Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.
4. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. (3)= 32 = 9.
5. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.